Номер 1601, страница 293 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Длина волны желтого света $\lambda_1 = 0,60$ мкм

Заряжающий потенциал для желтого света $\phi_1 = 1,2$ В

Длина волны фиолетового света $\lambda_2 = 0,40$ нм

$\lambda_1 = 0,60 \cdot 10^{-6}$ м
$\lambda_2 = 0,40 \cdot 10^{-9}$ м

Найти:

$\phi_2$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся уравнением Эйнштейна для фотоэффекта. Согласно этому уравнению, энергия падающего на катод фотона ($E_ф$) расходуется на работу выхода электрона из металла ($A_{вых}$) и на сообщение ему максимальной кинетической энергии ($E_{k,max}$):

$E_ф = A_{вых} + E_{k,max}$

Энергия фотона определяется его длиной волны $\lambda$ по формуле:

$E_ф = \frac{hc}{\lambda}$

где $h$ — постоянная Планка ($h \approx 6,63 \cdot 10^{-34}$ Дж·с), $c$ — скорость света в вакууме ($c = 3 \cdot 10^8$ м/с).

Максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов связана с потенциалом $\phi$, до которого заряжается катод (задерживающим потенциалом), соотношением:

$E_{k,max} = e\phi$

где $e$ — элементарный заряд ($e \approx 1,6 \cdot 10^{-19}$ Кл).

Объединив формулы, получим уравнение Эйнштейна в следующем виде:

$\frac{hc}{\lambda} = A_{вых} + e\phi$

Работа выхода $A_{вых}$ зависит только от материала катода и не меняется при изменении длины волны падающего света. Запишем уравнение для двух случаев, описанных в задаче:

1. Освещение желтым светом:

$\frac{hc}{\lambda_1} = A_{вых} + e\phi_1$

2. Освещение фиолетовым светом:

$\frac{hc}{\lambda_2} = A_{вых} + e\phi_2$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными: $A_{вых}$ и $\phi_2$. Выразим работу выхода из первого уравнения:

$A_{вых} = \frac{hc}{\lambda_1} - e\phi_1$

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

$\frac{hc}{\lambda_2} = (\frac{hc}{\lambda_1} - e\phi_1) + e\phi_2$

Выразим из полученного уравнения искомую величину $e\phi_2$:

$e\phi_2 = \frac{hc}{\lambda_2} - \frac{hc}{\lambda_1} + e\phi_1$

И, наконец, найдем потенциал $\phi_2$:

$\phi_2 = \frac{hc}{e}(\frac{1}{\lambda_2} - \frac{1}{\lambda_1}) + \phi_1$

Подставим числовые значения в итоговую формулу. Заметим, что в условии задачи длина волны 0,40 нм относится к рентгеновскому диапазону, а не к фиолетовому свету (около 400 нм). Решение приводится в строгом соответствии с числовыми данными из условия.

$\phi_2 = \frac{6,63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж·с} \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}} \cdot (\frac{1}{0,40 \cdot 10^{-9} \text{ м}} - \frac{1}{0,60 \cdot 10^{-6} \text{ м}}) + 1,2 \text{ В}$

$\phi_2 \approx 1,243 \cdot 10^{-6} \text{ В·м} \cdot (2,5 \cdot 10^9 \text{ м}^{-1} - 1,67 \cdot 10^6 \text{ м}^{-1}) + 1,2 \text{ В}$

$\phi_2 \approx 1,243 \cdot 10^{-6} \cdot (2500 \cdot 10^6 - 1,67 \cdot 10^6) + 1,2 \approx 1,243 \cdot 10^{-6} \cdot (2498,33 \cdot 10^6) + 1,2$

$\phi_2 \approx 3105,4 \text{ В} + 1,2 \text{ В} \approx 3106,6 \text{ В}$

Округлим результат до двух значащих цифр, как и в исходных данных:

$\phi_2 \approx 3,1 \cdot 10^3 \text{ В} = 3,1$ кВ.

Ответ: катод фотоэлемента зарядится до потенциала $\phi_2 \approx 3,1$ кВ.