Номер 1607, страница 294 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Длина волны γ-квантов: $\lambda = 1,0 \text{ нм}$

Работа выхода электрона из серебра: $A_B = 4,3 \text{ эВ}$

Постоянная Планка: $h \approx 6,63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с}$

Скорость света в вакууме: $c \approx 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Масса электрона: $m_e \approx 9,11 \cdot 10^{-31} \text{ кг}$

Заряд электрона (для перевода эВ в Дж): $e \approx 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$

Переведем данные в систему СИ:

$\lambda = 1,0 \text{ нм} = 1,0 \cdot 10^{-9} \text{ м}$

$A_B = 4,3 \text{ эВ} = 4,3 \cdot 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} = 6,88 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}$

Найти:

Максимальную скорость фотоэлектрона: $v_{max}$

Решение:

Для определения максимальной скорости фотоэлектрона воспользуемся уравнением Эйнштейна для фотоэффекта, которое связывает энергию падающего фотона ($E_{ф}$), работу выхода электрона ($A_B$) и максимальную кинетическую энергию вылетевшего электрона ($E_{к, max}$):

$E_{ф} = A_B + E_{к, max}$

Энергия фотона (γ-кванта) вычисляется по формуле:

$E_{ф} = \frac{hc}{\lambda}$

Максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона связана с его массой $m_e$ и максимальной скоростью $v_{max}$ следующим соотношением:

$E_{к, max} = \frac{m_e v_{max}^2}{2}$

Подставим выражения для энергии фотона и кинетической энергии в уравнение Эйнштейна:

$\frac{hc}{\lambda} = A_B + \frac{m_e v_{max}^2}{2}$

Из этого уравнения выразим максимальную скорость $v_{max}$. Сначала найдем максимальную кинетическую энергию:

$\frac{m_e v_{max}^2}{2} = \frac{hc}{\lambda} - A_B$

Затем выразим саму скорость:

$v_{max} = \sqrt{\frac{2}{m_e} \left( \frac{hc}{\lambda} - A_B \right)}$

Теперь проведем вычисления. Сначала найдем энергию падающего фотона:

$E_{ф} = \frac{6,63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с} \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{1,0 \cdot 10^{-9} \text{ м}} = 19,89 \cdot 10^{-17} \text{ Дж} = 1,989 \cdot 10^{-16} \text{ Дж}$

Подставим числовые значения в формулу для максимальной скорости:

$v_{max} = \sqrt{\frac{2}{9,11 \cdot 10^{-31} \text{ кг}} \left( 1,989 \cdot 10^{-16} \text{ Дж} - 6,88 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} \right)}$

Для удобства вычитания приведем числа к одному порядку:

$1,989 \cdot 10^{-16} \text{ Дж} - 0,00688 \cdot 10^{-16} \text{ Дж} \approx 1,982 \cdot 10^{-16} \text{ Дж}$

Продолжим расчет скорости:

$v_{max} = \sqrt{\frac{2 \cdot 1,982 \cdot 10^{-16} \text{ Дж}}{9,11 \cdot 10^{-31} \text{ кг}}} = \sqrt{\frac{3,964 \cdot 10^{-16}}{9,11 \cdot 10^{-31}} \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2}}$

$v_{max} \approx \sqrt{0,435 \cdot 10^{15} \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2}} = \sqrt{4,35 \cdot 10^{14} \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2}} \approx 2,086 \cdot 10^7 \text{ м/с}$

Округлим результат до двух значащих цифр, так как исходные данные даны с такой же точностью.

Ответ: $v_{max} \approx 2,1 \cdot 10^7 \text{ м/с}$.