Номер 1605, страница 293 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Радиус уединенного шарика, $R = 5,0 \text{ мм}$

Длина волны первого света, $\lambda_1 = 0,25 \text{ мкм}$

Длина волны второго света, $\lambda_2 = 0,20 \text{ мкм}$

Перевод в систему СИ:

$R = 5,0 \times 10^{-3} \text{ м}$

$\lambda_1 = 0,25 \times 10^{-6} \text{ м}$

$\lambda_2 = 0,20 \times 10^{-6} \text{ м}$

Найти:

Количество электронов, дополнительно покинувших шарик, $N_2$.

Решение:

При освещении уединенного металлического шарика светом происходит фотоэффект — вырывание электронов. Поскольку шарик является уединенным проводником, при потере электронов он приобретает положительный заряд $Q$ и, соответственно, электрический потенциал $\phi$. Этот потенциал создает задерживающее электрическое поле для вылетающих фотоэлектронов. Эмиссия электронов прекратится, когда работа по преодолению этого поля станет равна максимальной кинетической энергии фотоэлектронов $K_{max}$, то есть $K_{max} = e\phi$.

1. Сначала шарик освещают светом с длиной волны $\lambda_1$. Согласно уравнению Эйнштейна для фотоэффекта:

$\frac{hc}{\lambda_1} = A + K_{max,1}$

где $h$ — постоянная Планка, $c$ — скорость света, $A$ — работа выхода электрона из металла. Эмиссия прекратится, когда $K_{max,1} = e\phi_1$, где $\phi_1$ — установившийся потенциал шарика.

Потенциал заряженного шарика радиусом $R$ с зарядом $Q_1$ равен $\phi_1 = \frac{kQ_1}{R}$. Заряд $Q_1$ обусловлен уходом $N_1$ электронов: $Q_1 = N_1 e$, где $e$ — элементарный заряд. Таким образом, $\phi_1 = \frac{k N_1 e}{R}$.

Подставляя это в уравнение для фотоэффекта, получаем первое условие равновесия:

$\frac{hc}{\lambda_1} = A + e\phi_1 = A + \frac{k N_1 e^2}{R}$ (1)

2. Затем шарик дополнительно освещают светом с длиной волны $\lambda_2$. Поскольку $\lambda_2 < \lambda_1$, энергия фотонов второго света ($E_2 = hc/\lambda_2$) больше энергии фотонов первого света ($E_1 = hc/\lambda_1$). Это означает, что электроны, выбитые вторым светом, будут иметь большую максимальную кинетическую энергию. Они смогут преодолеть потенциальный барьер $\phi_1$, и шарик продолжит терять электроны.

Эмиссия окончательно прекратится, когда потенциал шарика $\phi_{final}$ станет таким, что даже самые энергичные электроны (выбитые светом с длиной волны $\lambda_2$) не смогут покинуть шарик. Условие равновесия будет определяться именно коротковолновым излучением:

$K_{max,2} = e\phi_{final}$

Уравнение Эйнштейна для этого случая:

$\frac{hc}{\lambda_2} = A + K_{max,2} = A + e\phi_{final}$

Конечный заряд шарика будет $Q_{final} = (N_1 + N_2)e$, где $N_2$ — число дополнительно вылетевших электронов. Конечный потенциал: $\phi_{final} = \frac{k(N_1 + N_2)e}{R}$.

Подставляя, получаем второе условие равновесия:

$\frac{hc}{\lambda_2} = A + \frac{k (N_1 + N_2) e^2}{R}$ (2)

3. Теперь у нас есть система из двух уравнений (1) и (2). Чтобы найти $N_2$, вычтем уравнение (1) из уравнения (2), тем самым исключив неизвестную работу выхода $A$:

$\frac{hc}{\lambda_2} - \frac{hc}{\lambda_1} = \left(A + \frac{k (N_1 + N_2) e^2}{R}\right) - \left(A + \frac{k N_1 e^2}{R}\right)$

$hc\left(\frac{1}{\lambda_2} - \frac{1}{\lambda_1}\right) = \frac{k e^2}{R}(N_1 + N_2 - N_1)$

$hc\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{\lambda_1\lambda_2} = \frac{k e^2 N_2}{R}$

Отсюда выражаем искомое число электронов $N_2$:

$N_2 = \frac{hcR}{k e^2}\left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{\lambda_1\lambda_2}\right)$

4. Подставим числовые значения. Используем справочные данные: $h \approx 6,63 \times 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с}$, $c = 3 \times 10^8 \text{ м/с}$, $k = 9 \times 10^9 \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2$, $e = 1,6 \times 10^{-19} \text{ Кл}$.

$N_2 = \frac{(6,63 \times 10^{-34}) \cdot (3 \times 10^8) \cdot (5,0 \times 10^{-3})}{(9 \times 10^9) \cdot (1,6 \times 10^{-19})^2} \times \left(\frac{(0,25 - 0,20) \times 10^{-6}}{(0,25 \times 10^{-6}) \cdot (0,20 \times 10^{-6})}\right)$

$N_2 = \frac{9,945 \times 10^{-28}}{9 \times 10^9 \cdot 2,56 \times 10^{-38}} \times \frac{0,05 \times 10^{-6}}{0,05 \times 10^{-12}}$

$N_2 = \frac{9,945 \times 10^{-28}}{2,304 \times 10^{-28}} \times 10^6$

$N_2 \approx 4,316 \times 10^6$

Округляя до двух значащих цифр, как в исходных данных, получаем:

$N_2 \approx 4,3 \times 10^6$

Ответ:

Шарик дополнительно покинет $N_2 \approx 4,3 \times 10^6$ электронов.