Номер 1599, страница 292 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Наименьшая длина волны рентгеновского излучения, $λ_{min} = 20,0$ нм = $20,0 \cdot 10^{-9}$ м

Модуль напряженности задерживающего поля, $E = 500$ В/м

Длина волны, соответствующая красной границе фотоэффекта, $λ_{кр} = 200$ нм = $200 \cdot 10^{-9}$ м

Постоянная Планка, $h \approx 6,63 \cdot 10^{-34}$ Дж·с

Скорость света в вакууме, $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с

Элементарный заряд, $e \approx 1,6 \cdot 10^{-19}$ Кл

Найти:

Максимальный пробег фотоэлектронов в поле, $l$

Решение:

Максимальный пробег в задерживающем поле будут иметь фотоэлектроны, обладающие максимальной начальной кинетической энергией $K_{max}$. Максимальная кинетическая энергия сообщается электронам фотонами с максимальной энергией, что соответствует наименьшей длине волны $λ_{min}$ падающего излучения.

Согласно уравнению Эйнштейна для фотоэффекта:

$E_{ф} = A_{вых} + K_{max}$

где $E_{ф}$ – энергия падающего фотона, $A_{вых}$ – работа выхода электрона из металла.

Энергия фотона и работа выхода могут быть выражены через длины волн:

$E_{ф} = \frac{hc}{λ_{min}}$

$A_{вых} = \frac{hc}{λ_{кр}}$

Тогда максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов равна:

$K_{max} = \frac{hc}{λ_{min}} - \frac{hc}{λ_{кр}} = hc \left( \frac{1}{λ_{min}} - \frac{1}{λ_{кр}} \right)$

При движении в задерживающем электрическом поле с напряженностью $E$ фотоэлектрон с зарядом $e$ замедляется. Работа, совершаемая полем над электроном на пути $l$, равна изменению его кинетической энергии. Максимальный пробег $l$ достигается, когда вся начальная кинетическая энергия электрона будет затрачена на работу против сил поля, то есть его скорость станет равной нулю.

Работа электрического поля $A_{поля}$ по перемещению заряда $e$ на расстояние $l$ против поля равна:

$A_{поля} = -eEl$

По теореме о кинетической энергии:

$A_{поля} = \Delta K = K_{конечная} - K_{начальная} = 0 - K_{max}$

Следовательно:

$-eEl = -K_{max}$

$eEl = K_{max}$

Подставим выражение для $K_{max}$:

$eEl = hc \left( \frac{1}{λ_{min}} - \frac{1}{λ_{кр}} \right)$

Выразим отсюда искомый максимальный пробег $l$:

$l = \frac{hc}{eE} \left( \frac{1}{λ_{min}} - \frac{1}{λ_{кр}} \right)$

Подставим числовые значения:

$l = \frac{6,63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с} \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл} \cdot 500 \text{ В/м}} \left( \frac{1}{20,0 \cdot 10^{-9} \text{ м}} - \frac{1}{200 \cdot 10^{-9} \text{ м}} \right)$

$l = \frac{19,89 \cdot 10^{-26}}{800 \cdot 10^{-19}} \left( \frac{10}{200 \cdot 10^{-9}} - \frac{1}{200 \cdot 10^{-9}} \right) = 0,02486 \cdot 10^{-7} \left( \frac{9}{200 \cdot 10^{-9}} \right)$

$l = 0,02486 \cdot 10^{-7} \cdot 0,045 \cdot 10^9 = 0,0011187 \cdot 10^2 = 0,11187$ м

Округлим результат до трех значащих цифр.

$l \approx 0,112$ м

Ответ: $l \approx 0,112$ м или $11,2$ см.