Номер 732, страница 133 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$V_1 = V_2 = V$

$T_1 = 200 \text{ К}$

$T_2 = 400 \text{ К}$

$p_2 = 3p_1$

Газ - гелий (одноатомный)

Система теплоизолирована.

Найти:

$T$ - ?

Решение:

Система, состоящая из двух сосудов, является теплоизолированной. При открывании крана газ не совершает внешней работы, так как его объем не меняется (он расширяется внутри системы). Следовательно, согласно первому закону термодинамики, внутренняя энергия системы сохраняется.

Полная внутренняя энергия системы до открытия крана равна сумме внутренних энергий газов в каждом сосуде:

$U_{до} = U_1 + U_2$

Внутренняя энергия идеального одноатомного газа (гелия) вычисляется по формуле:

$U = \frac{3}{2}\nu RT$

где $\nu$ - количество вещества, $R$ - универсальная газовая постоянная, $T$ - абсолютная температура.

Тогда начальная внутренняя энергия системы:

$U_{до} = \frac{3}{2}\nu_1 R T_1 + \frac{3}{2}\nu_2 R T_2$

После открытия крана и установления теплового равновесия газ займет общий объем $V_{общ} = V_1 + V_2 = 2V$, его общее количество вещества будет $\nu_{общ} = \nu_1 + \nu_2$, а температура станет равной $T$. Внутренняя энергия системы после смешивания:

$U_{после} = \frac{3}{2}(\nu_1 + \nu_2) R T$

По закону сохранения энергии $U_{до} = U_{после}$:

$\frac{3}{2}\nu_1 R T_1 + \frac{3}{2}\nu_2 R T_2 = \frac{3}{2}(\nu_1 + \nu_2) R T$

Сократив обе части на $\frac{3}{2}R$, получим:

$\nu_1 T_1 + \nu_2 T_2 = (\nu_1 + \nu_2) T$

Выразим количество вещества $\nu_1$ и $\nu_2$ через параметры состояния газа, используя уравнение Менделеева-Клапейрона $pV = \nu RT$:

$\nu_1 = \frac{p_1 V_1}{R T_1} = \frac{p_1 V}{R T_1}$

$\nu_2 = \frac{p_2 V_2}{R T_2} = \frac{3p_1 V}{R T_2}$

Подставим эти выражения в уравнение сохранения энергии:

$\frac{p_1 V}{R T_1} T_1 + \frac{3p_1 V}{R T_2} T_2 = \left(\frac{p_1 V}{R T_1} + \frac{3p_1 V}{R T_2}\right) T$

Сократим $T_1$ и $T_2$ в левой части и вынесем общий множитель $\frac{p_1 V}{R}$ за скобки в обеих частях:

$\frac{p_1 V}{R} (1 + 3) = \frac{p_1 V}{R} \left(\frac{1}{T_1} + \frac{3}{T_2}\right) T$

Сократив на $\frac{p_1 V}{R}$, получаем:

$4 = \left(\frac{1}{T_1} + \frac{3}{T_2}\right) T$

$4 = \left(\frac{T_2 + 3T_1}{T_1 T_2}\right) T$

Отсюда выражаем искомую температуру $T$:

$T = \frac{4 T_1 T_2}{T_2 + 3T_1}$

Подставим числовые значения:

$T = \frac{4 \cdot 200 \cdot 400}{400 + 3 \cdot 200} = \frac{320000}{400 + 600} = \frac{320000}{1000} = 320 \text{ К}$

Ответ: $320 \text{ К}$.