Номер 727, страница 132 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Идеальный одноатомный газ

$T_2 = 3T_1$

$p^2V = \text{const}$

$V_2 = 2,7 \text{ л} = 2,7 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$

$p_1 = 1,0 \cdot 10^5 \text{ Па}$

Найти:

$\Delta U$

Решение:

Изменение внутренней энергии $\Delta U$ идеального одноатомного газа определяется формулой:

$\Delta U = \frac{3}{2}\nu R \Delta T = \frac{3}{2}\nu R(T_2 - T_1)$

где $\nu$ - количество вещества, $R$ - универсальная газовая постоянная, $T_1$ и $T_2$ - начальная и конечная температуры газа.

По условию, $T_2 = 3T_1$, тогда:

$\Delta U = \frac{3}{2}\nu R(3T_1 - T_1) = \frac{3}{2}\nu R(2T_1) = 3\nu RT_1$

Согласно уравнению состояния идеального газа для начального состояния (состояние 1):

$p_1V_1 = \nu RT_1$

Подставив это выражение в формулу для изменения внутренней энергии, получим:

$\Delta U = 3p_1V_1$

Чтобы найти $\Delta U$, нам необходимо определить начальный объем газа $V_1$. Для этого воспользуемся уравнением процесса $p^2V = \text{const}$ и уравнением состояния идеального газа.

Для начального (1) и конечного (2) состояний газа можно записать:

$p_1^2V_1 = p_2^2V_2$ (уравнение процесса)

$p_1V_1 = \nu RT_1$ (уравнение состояния для начала)

$p_2V_2 = \nu RT_2$ (уравнение состояния для конца)

Так как $T_2 = 3T_1$, то $p_2V_2 = \nu R(3T_1) = 3(\nu RT_1)$. Заменив $\nu RT_1$ на $p_1V_1$, получим связь между параметрами начального и конечного состояний:

$p_2V_2 = 3p_1V_1$

Отсюда выразим конечное давление $p_2$:

$p_2 = \frac{3p_1V_1}{V_2}$

Подставим это выражение для $p_2$ в уравнение процесса:

$p_1^2V_1 = \left(\frac{3p_1V_1}{V_2}\right)^2 V_2$

$p_1^2V_1 = \frac{9p_1^2V_1^2}{V_2^2}V_2$

$p_1^2V_1 = \frac{9p_1^2V_1^2}{V_2}$

Сократим обе части уравнения на $p_1^2V_1$ (так как давление и объем не равны нулю):

$1 = \frac{9V_1}{V_2}$

Отсюда находим начальный объем $V_1$:

$V_1 = \frac{V_2}{9}$

Подставим числовое значение для $V_2$:

$V_1 = \frac{2,7 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3}{9} = 0,3 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$

Теперь можем вычислить изменение внутренней энергии:

$\Delta U = 3p_1V_1 = 3 \cdot (1,0 \cdot 10^5 \text{ Па}) \cdot (0,3 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3) = 90 \text{ Дж}$

Ответ: 90 Дж.