Номер 726, страница 132 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Газ - идеальный одноатомный

Соотношение температур: $T_2 = \frac{1}{2}T_1$

Закон процесса: $p V^2 = \text{const}$

Конечное давление: $p_2 = 20 \text{ кПа} = 20 \cdot 10^3 \text{ Па}$

Изменение внутренней энергии: $|\Delta U| = 48 \text{ Дж}$

Найти:

$V_1$ - ?

Решение:

Изменение внутренней энергии идеального одноатомного газа определяется формулой:

$\Delta U = U_2 - U_1 = \frac{3}{2}\nu R (T_2 - T_1)$

где $\nu$ - количество вещества, $R$ - универсальная газовая постоянная, $T_1$ и $T_2$ - начальная и конечная температуры.

В условии сказано, что газ охлаждается, следовательно, его температура уменьшается ($T_2 < T_1$), а значит, и внутренняя энергия уменьшается ($U_2 < U_1$). Таким образом, изменение внутренней энергии $\Delta U$ будет отрицательным. Величина изменения дана как 48 Дж, поэтому $\Delta U = -48 \text{ Дж}$.

Подставим в формулу для $\Delta U$ соотношение температур $T_2 = \frac{1}{2}T_1$:

$\Delta U = \frac{3}{2}\nu R (\frac{1}{2}T_1 - T_1) = \frac{3}{2}\nu R (-\frac{1}{2}T_1) = -\frac{3}{4}\nu R T_1$

Теперь подставим числовое значение $\Delta U$:

$-48 = -\frac{3}{4}\nu R T_1$

Отсюда можем выразить произведение $\nu R T_1$:

$\nu R T_1 = \frac{48 \cdot 4}{3} = 16 \cdot 4 = 64 \text{ Дж}$

Согласно уравнению состояния идеального газа (уравнению Менделеева-Клапейрона) для начального состояния (1):

$p_1 V_1 = \nu R T_1$

Следовательно, мы получаем важное соотношение:

$p_1 V_1 = 64 \text{ Дж}$

Далее, используем закон процесса $p V^2 = \text{const}$, что для начального и конечного состояний означает:

$p_1 V_1^2 = p_2 V_2^2$

Чтобы связать параметры, воспользуемся уравнением состояния $p = \frac{\nu R T}{V}$. Подставим его в закон процесса:

$(\frac{\nu R T}{V}) V^2 = \text{const} \implies \nu R T V = \text{const}$

Поскольку $\nu$ и $R$ постоянны, получаем $T V = \text{const}$. Для двух состояний это записывается как:

$T_1 V_1 = T_2 V_2$

Подставим известное соотношение температур:

$T_1 V_1 = (\frac{1}{2}T_1) V_2$

Сократив на $T_1$, найдем связь между объемами:

$V_2 = 2V_1$

Теперь подставим это соотношение в уравнение процесса $p_1 V_1^2 = p_2 V_2^2$:

$p_1 V_1^2 = p_2 (2V_1)^2 = p_2 \cdot 4V_1^2$

Сократив на $V_1^2$, получим связь между давлениями:

$p_1 = 4p_2$

Нам дано конечное давление $p_2 = 20 \text{ кПа}$. Найдем начальное давление $p_1$:

$p_1 = 4 \cdot 20 \text{ кПа} = 80 \text{ кПа} = 80 \cdot 10^3 \text{ Па}$

Наконец, из соотношения $p_1 V_1 = 64$ найдем искомый начальный объем $V_1$:

$V_1 = \frac{64}{p_1} = \frac{64 \text{ Дж}}{80 \cdot 10^3 \text{ Па}} = \frac{64}{80} \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 = 0.8 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$

Ответ: $V_1 = 0.8 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$ (или 0.8 л).