Номер 723, страница 132 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Идеальный газ

Начальная высота поршня: $h_1 = h$

Коэффициент увеличения внутренней энергии: $k = \frac{U_2}{U_1} = 3$

Найти:

Изменение высоты поршня: $\Delta h$

Решение:

Внутренняя энергия идеального газа $U$ прямо пропорциональна его абсолютной температуре $T$. Формула для внутренней энергии: $U = \frac{i}{2} \nu R T$, где $i$ — число степеней свободы молекул газа, $\nu$ — количество вещества, $R$ — универсальная газовая постоянная.

Из этой прямой пропорциональности следует, что если внутренняя энергия увеличилась в $k$ раз, то и абсолютная температура газа также увеличилась в $k$ раз:

$\frac{U_2}{U_1} = \frac{T_2}{T_1} = k$

Поскольку поршень может перемещаться без трения, он будет находиться в равновесии, когда давление газа внутри цилиндра уравновешивает постоянное внешнее давление (атмосферное давление плюс давление, создаваемое весом поршня). Следовательно, процесс расширения газа происходит при постоянном давлении (изобарный процесс, $p = \text{const}$).

Для изобарного процесса справедлив закон Гей-Люссака, который связывает объем и температуру газа:

$\frac{V}{T} = \text{const}$, или $\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$

где $V_1$ и $V_2$ — начальный и конечный объемы газа соответственно.

Объем газа в цилиндрическом сосуде можно выразить через площадь основания (поршня) $S$ и высоту $h$, на которой находится поршень: $V = S \cdot h$.

Тогда начальный объем $V_1 = S \cdot h_1 = S \cdot h$, а конечный объем $V_2 = S \cdot h_2$, где $h_2$ — конечная высота поршня.

Подставим эти выражения в уравнение закона Гей-Люссака:

$\frac{S \cdot h}{T_1} = \frac{S \cdot h_2}{T_2}$

Сократив на площадь поршня $S$, получим соотношение между высотами и температурами:

$\frac{h}{T_1} = \frac{h_2}{T_2}$

Отсюда выразим конечную высоту $h_2$:

$h_2 = h \cdot \frac{T_2}{T_1}$

Используя соотношение $\frac{T_2}{T_1} = k$, получаем:

$h_2 = k \cdot h$

Изменение высоты поршня $\Delta h$ — это разность между конечной и начальной высотами:

$\Delta h = h_2 - h_1 = k \cdot h - h = (k-1)h$

Подставим заданное из условия значение $k = 3$:

$\Delta h = (3-1)h = 2h$

Ответ: изменение высоты расположения поршня равно $2h$.