Номер 728, страница 132 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Процесс для идеального газа: $pV^3 = \text{const}$

Изменение объема: $V_2 = 2V_1$

Найти:

Во сколько раз уменьшилась внутренняя энергия: $\frac{U_1}{U_2}$

Решение:

Внутренняя энергия $U$ идеального газа определяется его абсолютной температурой $T$ и зависит от количества вещества $\nu$ и числа степеней свободы молекул $i$: $U = \frac{i}{2}\nu RT$. Поскольку для данного газа величины $i$, $\nu$ и $R$ (универсальная газовая постоянная) постоянны, внутренняя энергия прямо пропорциональна температуре: $U \sim T$.

Следовательно, чтобы найти, во сколько раз изменилась внутренняя энергия, достаточно найти, во сколько раз изменилась температура:

$\frac{U_1}{U_2} = \frac{T_1}{T_2}$

Воспользуемся уравнением состояния идеального газа (уравнением Менделеева-Клапейрона) $pV = \nu RT$. Из него можно выразить температуру $T = \frac{pV}{\nu R}$. Тогда отношение температур для начального (1) и конечного (2) состояний будет:

$\frac{T_1}{T_2} = \frac{p_1 V_1 / (\nu R)}{p_2 V_2 / (\nu R)} = \frac{p_1 V_1}{p_2 V_2}$

Из условия задачи нам известен закон, по которому изменяются давление и объем: $pV^3 = \text{const}$. Это означает, что для двух состояний газа выполняется равенство:

$p_1 V_1^3 = p_2 V_2^3$

Выразим из этого равенства отношение давлений:

$\frac{p_1}{p_2} = \frac{V_2^3}{V_1^3} = \left(\frac{V_2}{V_1}\right)^3$

По условию, объем газа увеличили в два раза, то есть $\frac{V_2}{V_1} = 2$. Подставим это значение в отношение давлений:

$\frac{p_1}{p_2} = 2^3 = 8$

Теперь мы можем найти отношение температур, подставив в формулу известные отношения давлений и объемов ($\frac{V_1}{V_2} = \frac{1}{2}$):

$\frac{T_1}{T_2} = \frac{p_1}{p_2} \cdot \frac{V_1}{V_2} = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$

Так как $\frac{U_1}{U_2} = \frac{T_1}{T_2}$, то внутренняя энергия уменьшилась в 4 раза.

Ответ: Внутренняя энергия газа уменьшилась в 4 раза.