Номер 718, страница 131 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Площадь поперечного сечения трубки: $S$

Начальное давление пара в каждой части: $p$

Давление насыщенного водяного пара: $p_н = 2p$

Соотношение объемов в вертикальном положении: объем под поршнем уменьшается в 4 раза.

Температура постоянна: $T = \text{const}$

Найти:

Массу поршня: $m$

Решение:

В начальном состоянии, когда трубка расположена горизонтально, поршень находится посередине, и давление водяного пара с обеих сторон от него одинаково и равно $p$. Обозначим объем каждой из двух равных частей трубки как $V_0$.

Когда трубку ставят вертикально, поршень смещается под действием силы тяжести, и устанавливается новое равновесное положение. Обозначим новые объемы и давления в верхней и нижней частях трубки как $V'_1, p'_1$ и $V'_2, p'_2$ соответственно.

По условию задачи, объем под поршнем уменьшается в четыре раза, то есть $V'_2 = V_0 / 4$. Общий объем пара в трубке не изменяется и равен $2V_0$. Следовательно, новый объем в верхней части трубки будет равен $V'_1 = 2V_0 - V'_2 = 2V_0 - V_0/4 = \frac{7}{4}V_0$.

Так как температура пара остается постоянной, можно воспользоваться законом Бойля-Мариотта ($pV = \text{const}$), но необходимо учесть, что пар может стать насыщенным.

Рассмотрим нижнюю часть трубки, где пар сжимается. Если бы он оставался ненасыщенным, его давление по закону Бойля-Мариотта стало бы равным $p \cdot V_0 = p_{расч} \cdot V'_2 \implies p_{расч} = p \frac{V_0}{V_0/4} = 4p$. Однако, это давление превышает давление насыщенного пара $p_н = 2p$. Это означает, что в процессе сжатия пар достиг состояния насыщения и часть его сконденсировалась. Поэтому фактическое давление в нижней части трубки будет равно давлению насыщенного пара: $p'_2 = p_н = 2p$.

В верхней части трубки пар расширяется, поэтому он остается ненасыщенным. Применяя к нему закон Бойля-Мариотта, находим новое давление $p'_1$: $p \cdot V_0 = p'_1 \cdot V'_1 \implies p'_1 = p \frac{V_0}{V'_1} = p \frac{V_0}{7V_0/4} = \frac{4}{7}p$.

В состоянии равновесия поршень неподвижен. Это значит, что сумма сил, действующих на него, равна нулю. На поршень действуют: сила тяжести $mg$ (вниз), сила давления от верхнего пара $F'_1 = p'_1 S$ (вниз) и сила давления от нижнего пара $F'_2 = p'_2 S$ (вверх). Условие равновесия имеет вид: $F'_2 = F'_1 + mg$.

Перепишем это уравнение через давления: $p'_2 S = p'_1 S + mg$.

Отсюда выразим массу поршня $m$: $mg = (p'_2 - p'_1)S$.

Подставим найденные значения давлений $p'_1$ и $p'_2$:

$mg = (2p - \frac{4}{7}p)S = (\frac{14p - 4p}{7})S = \frac{10p}{7}S$

Таким образом, масса поршня равна:

$m = \frac{10pS}{7g}$

Ответ: $m = \frac{10pS}{7g}$