Номер 713, страница 130 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Объем первой порции воздуха: $V_1 = 1,0 \text{ м}^3$

Относительная влажность первой порции воздуха: $\phi_1 = 20 \% = 0,2$

Объем второй порции воздуха: $V_2 = 2,0 \text{ м}^3$

Относительная влажность второй порции воздуха: $\phi_2 = 30 \% = 0,3$

Объем смеси: $V = 3,0 \text{ м}^3$

Температура постоянна: $T = \text{const}$

Все величины представлены в системе СИ.

Найти:

Относительную влажность смешанного воздуха: $\phi$

Решение:

Относительная влажность воздуха $\phi$ определяется как отношение парциального давления водяного пара $p$ к давлению насыщенного пара $p_{н}$ при той же температуре:

$\phi = \frac{p}{p_{н}}$

Поскольку обе порции воздуха до смешивания и получившаяся смесь находятся при одинаковой температуре, давление насыщенного пара $p_{н}$ является постоянной величиной для всего процесса.

Из определения относительной влажности найдем парциальные давления водяного пара в каждой порции воздуха до смешивания:

$p_1 = \phi_1 \cdot p_{н}$

$p_2 = \phi_2 \cdot p_{н}$

При смешивании двух порций воздуха общее количество вещества водяного пара сохраняется. Будем считать водяной пар идеальным газом. Тогда из уравнения состояния идеального газа $pV = nRT$ количество вещества (число молей) пара в каждой порции равно:

$n_1 = \frac{p_1 V_1}{RT}$

$n_2 = \frac{p_2 V_2}{RT}$

Общее количество вещества пара в смеси равно сумме количеств вещества в исходных порциях:

$n_{смеси} = n_1 + n_2$

Парциальное давление $p$ водяного пара в смеси объемом $V = V_1 + V_2$ определяется уравнением:

$p V = n_{смеси} RT$

Подставим выражения для $n_1$, $n_2$ и $n_{смеси}$:

$\frac{p V}{RT} = \frac{p_1 V_1}{RT} + \frac{p_2 V_2}{RT}$

Поскольку температура $T$ и универсальная газовая постоянная $R$ одинаковы, их можно сократить:

$p V = p_1 V_1 + p_2 V_2$

Отсюда парциальное давление пара в смеси:

$p = \frac{p_1 V_1 + p_2 V_2}{V}$

Теперь подставим в это уравнение выражения для $p_1$ и $p_2$ через давление насыщенного пара:

$p = \frac{(\phi_1 p_{н}) V_1 + (\phi_2 p_{н}) V_2}{V} = p_{н} \frac{\phi_1 V_1 + \phi_2 V_2}{V}$

Относительная влажность смеси $\phi$ равна:

$\phi = \frac{p}{p_{н}} = \frac{p_{н} \frac{\phi_1 V_1 + \phi_2 V_2}{V}}{p_{н}} = \frac{\phi_1 V_1 + \phi_2 V_2}{V}$

В задаче указано, что $V = V_1 + V_2$, что логично при смешивании без изменения внешних условий. Проверим: $1,0 \text{ м}^3 + 2,0 \text{ м}^3 = 3,0 \text{ м}^3$.

Подставим числовые значения, используя влажность в долях единицы:

$\phi = \frac{0,2 \cdot 1,0 \text{ м}^3 + 0,3 \cdot 2,0 \text{ м}^3}{3,0 \text{ м}^3} = \frac{0,2 + 0,6}{3,0} = \frac{0,8}{3,0} \approx 0,2667$

Чтобы выразить результат в процентах, умножим полученное значение на 100%:

$\phi \approx 0,2667 \cdot 100\% \approx 26,7\%$

Ответ: относительная влажность смешанного воздуха составляет примерно $26,7\%$.