Номер 158, страница 32 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

158. Внутри закрытого с обоих концов горизонтально расположенного цилиндра объемом $V = 12 \text{ дм}^3$ находится тонкий подвижный гладкий поршень, делящий объем цилиндра на два равных отсека. Площадь поперечного сечения поршня равна $S = 80 \text{ см}^2$. В отсеках содержится одинаковый идеальный газ, абсолютные температуры которого отличаются в $\alpha = 2,0$ раза. Определите модуль перемещения поршня при выравнивании температур.

Дано:

Общий объем цилиндра, $V = 12$ дм³

Площадь поперечного сечения поршня, $S = 80$ см²

Отношение начальных температур, $\alpha = 2,0$

Перевод в систему СИ:
$V = 12 \text{ дм}^3 = 12 \cdot (10^{-1} \text{ м})^3 = 12 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 = 1,2 \cdot 10^{-2} \text{ м}^3$
$S = 80 \text{ см}^2 = 80 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 80 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 8 \cdot 10^{-3} \text{ м}^2$

Найти:

Модуль перемещения поршня, $|\Delta x|$ - ?

Решение:

Обозначим параметры газа в отсеках индексами 1 и 2.

1. Начальное состояние (до выравнивания температур).

Поршень является подвижным и гладким, а цилиндр расположен горизонтально, поэтому поршень находится в механическом равновесии. Это означает, что давления газа в обоих отсеках одинаковы: $p_1 = p_2 = p$.

По условию, поршень изначально делит объем цилиндра на два равных отсека, следовательно, их объемы равны: $V_1 = V_2 = V/2$.

Абсолютные температуры газов отличаются в $α$ раз. Пусть $T_1$ — меньшая температура, тогда $T_2 = αT_1$.

Запишем уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона) для каждого отсека:

$p V_1 = \nu_1 R T_1 \implies p \frac{V}{2} = \nu_1 R T_1$

$p V_2 = \nu_2 R T_2 \implies p \frac{V}{2} = \nu_2 R (\alpha T_1)$

где $\nu_1$ и $\nu_2$ — количество вещества газа в отсеках, а $R$ — универсальная газовая постоянная.

Из этих уравнений следует, что $\nu_1 R T_1 = \nu_2 R (\alpha T_1)$. Сократив общие множители, получим соотношение между количествами вещества в отсеках:

$\nu_1 = \alpha \nu_2$

2. Конечное состояние (после выравнивания температур).

После выравнивания температуры в обоих отсеках станут одинаковыми: $T_{1f} = T_{2f} = T_f$.

Поршень переместится и займет новое положение равновесия. В этом положении давления снова будут равны: $p_{1f} = p_{2f} = p_f$.

Количество вещества в каждом отсеке не изменилось, так как цилиндр герметично закрыт. Объемы изменятся и станут $V_{1f}$ и $V_{2f}$, причем их сумма останется прежней: $V_{1f} + V_{2f} = V$.

Запишем уравнение состояния для конечного состояния:

$p_f V_{1f} = \nu_1 R T_f$

$p_f V_{2f} = \nu_2 R T_f$

Разделив первое уравнение на второе, получим соотношение для конечных объемов:

$\frac{V_{1f}}{V_{2f}} = \frac{\nu_1 R T_f}{\nu_2 R T_f} = \frac{\nu_1}{\nu_2}$

Подставим ранее найденное соотношение $\nu_1 = \alpha \nu_2$:

$\frac{V_{1f}}{V_{2f}} = \alpha \implies V_{1f} = \alpha V_{2f}$

Используем условие сохранения полного объема $V_{1f} + V_{2f} = V$ для нахождения конечных объемов:

$\alpha V_{2f} + V_{2f} = V \implies V_{2f}(\alpha + 1) = V \implies V_{2f} = \frac{V}{\alpha + 1}$

Тогда объем первого отсека будет: $V_{1f} = \alpha V_{2f} = \frac{\alpha V}{\alpha + 1}$.

3. Определение перемещения поршня.

Изменение объема одного из отсеков, например, первого, равно $\Delta V_1 = V_{1f} - V_1$. Это изменение объема связано с перемещением поршня $\Delta x$ и площадью его сечения $S$ соотношением $|\Delta V_1| = S \cdot |\Delta x|$.

Найдем изменение объема первого отсека:

$\Delta V_1 = V_{1f} - V_1 = \frac{\alpha V}{\alpha + 1} - \frac{V}{2} = V \left( \frac{\alpha}{\alpha + 1} - \frac{1}{2} \right) = V \frac{2\alpha - (\alpha + 1)}{2(\alpha + 1)} = V \frac{\alpha - 1}{2(\alpha + 1)}$

Тогда модуль перемещения поршня равен:

$|\Delta x| = \frac{|\Delta V_1|}{S} = \frac{V}{S} \frac{|\alpha - 1|}{2(\alpha + 1)}$

Поскольку по условию $\alpha = 2,0 > 1$, то $\alpha - 1 > 0$, и знак модуля можно опустить.

$|\Delta x| = \frac{V}{S} \frac{\alpha - 1}{2(\alpha + 1)}$

Подставим числовые значения в системе СИ:

$|\Delta x| = \frac{1,2 \cdot 10^{-2} \text{ м}^3}{8 \cdot 10^{-3} \text{ м}^2} \cdot \frac{2,0 - 1}{2(2,0 + 1)} = 1,5 \text{ м} \cdot \frac{1}{2 \cdot 3} = 1,5 \text{ м} \cdot \frac{1}{6} = 0,25 \text{ м}$

Ответ: модуль перемещения поршня равен 0,25 м.