Номер 157, страница 32 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

157. На столе в горизонтальном положении лежит цилиндрический сосуд длиной $l = 1,0 \text{ м}$, запаянный с обоих концов. Внутри сосуда находится тонкая гладкая незакрепленная перегородка, делящая сосуд на две равные части, в каждой из которых содержится воздух при температуре $t = 27^\circ \text{С}$. Воздух в одной части сосуда нагревают на $\Delta t = 12^\circ \text{С}$, а в другой — на столько же охлаждают. Определите смещение перегородки.

Дано:

Длина сосуда $l = 1,0$ м.

Начальная температура воздуха $t = 27$ °С.

Изменение температуры $\Delta t = 12$ °С.

Перевод в систему СИ:

Начальная абсолютная температура $T_0 = t + 273 = 27 + 273 = 300$ К.

Изменение абсолютной температуры $\Delta T = \Delta t = 12$ К.

Найти:

Смещение перегородки $x$.

Решение:

В начальном состоянии перегородка находится посередине, и параметры воздуха (давление $p_0$, объем $V_0$, температура $T_0$) в обеих частях сосуда одинаковы. Начальный объем каждой части $V_0 = S \cdot \frac{l}{2}$, где $S$ — площадь поперечного сечения сосуда.

После того как воздух в одной части нагрели, а в другой охладили, перегородка сместится до нового положения равновесия. В этом положении давления по обе стороны от перегородки будут равны. Обозначим это новое давление как $p'$.

Температура в нагреваемой части станет $T_1 = T_0 + \Delta T$. Температура в охлаждаемой части станет $T_2 = T_0 - \Delta T$.

Предположим, перегородка сместилась на расстояние $x$ в сторону охлаждаемого газа. Тогда новый объем нагреваемой части будет $V_1 = S \cdot (\frac{l}{2} + x)$, а новый объем охлаждаемой части будет $V_2 = S \cdot (\frac{l}{2} - x)$.

Так как количество воздуха в каждой части сосуда не меняется, мы можем применить объединенный газовый закон для каждой части:

$\frac{p_0 V_0}{T_0} = \text{const}$

Для первой (нагреваемой) части: $\frac{p_0 V_0}{T_0} = \frac{p' V_1}{T_1}$.

Для второй (охлаждаемой) части: $\frac{p_0 V_0}{T_0} = \frac{p' V_2}{T_2}$.

Приравнивая правые части уравнений, получаем:

$\frac{p' V_1}{T_1} = \frac{p' V_2}{T_2}$

Сократив одинаковое давление $p'$, получим:

$\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$

Подставим выражения для объемов и температур:

$\frac{S \cdot (\frac{l}{2} + x)}{T_0 + \Delta T} = \frac{S \cdot (\frac{l}{2} - x)}{T_0 - \Delta T}$

Площадь поперечного сечения $S$ сокращается:

$\frac{\frac{l}{2} + x}{T_0 + \Delta T} = \frac{\frac{l}{2} - x}{T_0 - \Delta T}$

Решим это уравнение относительно $x$, используя свойство пропорции:

$(\frac{l}{2} + x)(T_0 - \Delta T) = (\frac{l}{2} - x)(T_0 + \Delta T)$

Раскроем скобки:

$\frac{l}{2}T_0 - \frac{l}{2}\Delta T + xT_0 - x\Delta T = \frac{l}{2}T_0 + \frac{l}{2}\Delta T - xT_0 - x\Delta T$

Сократим одинаковые члены с обеих сторон ($\frac{l}{2}T_0$ и $-x\Delta T$):

$xT_0 - \frac{l}{2}\Delta T = -xT_0 + \frac{l}{2}\Delta T$

Сгруппируем члены с $x$ в левой части, а остальные в правой:

$2xT_0 = l\Delta T$

Отсюда выражаем искомое смещение $x$:

$x = \frac{l \Delta T}{2 T_0}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$x = \frac{1,0 \, \text{м} \cdot 12 \, \text{К}}{2 \cdot 300 \, \text{К}} = \frac{12}{600} \, \text{м} = 0,02 \, \text{м}$

Ответ: смещение перегородки составит $0,02$ м.