Номер 155, страница 32 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

155. Зависимость давления идеального газа от его объема

имеет вид: $p=\frac{\alpha}{V^2}$, где $\alpha$ — постоянная величина. Во

сколько раз увеличится абсолютная температура идеального газа, если уменьшить его объем в $\alpha = 1,6$ раза?

Дано:

Зависимость давления от объема: $p = \frac{\alpha}{V^2}$

Уменьшение объема: $\frac{V_1}{V_2} = a = 1,6$

Количество вещества газа постоянно: $\nu = const$

$\alpha = const$

Найти:

Отношение конечной температуры к начальной: $\frac{T_2}{T_1} - ?$

Решение:

Состояние идеального газа описывается уравнением Менделеева-Клапейрона:

$pV = \nu RT$

где $p$ – давление, $V$ – объем, $T$ – абсолютная температура, $\nu$ – количество вещества, $R$ – универсальная газовая постоянная.

Из этого уравнения выразим температуру $T$:

$T = \frac{pV}{\nu R}$

Согласно условию задачи, зависимость давления газа от его объема имеет вид $p = \frac{\alpha}{V^2}$. Подставим это выражение в формулу для температуры:

$T = \frac{(\frac{\alpha}{V^2})V}{\nu R} = \frac{\alpha}{\nu R V}$

Так как величины $\alpha$, $\nu$ и $R$ являются постоянными, можно сделать вывод, что температура газа обратно пропорциональна его объему:

$T \sim \frac{1}{V}$

Запишем это соотношение для начального (с индексом 1) и конечного (с индексом 2) состояний газа:

$T_1 = \frac{C}{V_1}$ и $T_2 = \frac{C}{V_2}$, где $C = \frac{\alpha}{\nu R}$ – константа.

Найдем, во сколько раз изменится температура, для этого вычислим отношение $\frac{T_2}{T_1}$:

$\frac{T_2}{T_1} = \frac{\frac{C}{V_2}}{\frac{C}{V_1}} = \frac{C}{V_2} \cdot \frac{V_1}{C} = \frac{V_1}{V_2}$

По условию, объем газа уменьшили в $a = 1,6$ раза, это означает, что $V_2 = \frac{V_1}{1,6}$, или $\frac{V_1}{V_2} = 1,6$.

Подставим это значение в наше соотношение для температур:

$\frac{T_2}{T_1} = 1,6$

Таким образом, абсолютная температура идеального газа увеличится в 1,6 раза.

Ответ: в 1,6 раза.