Номер 149, страница 31 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

149. Шар, масса оболочки которого $m = 35,1 \text{ г}$, заполнен гелием под давлением $p = 1,03 \cdot 10^5 \text{ Па}$ при температуре $t = 27^\circ \text{C}$. Шар прикреплен к поверхности земли легкой нитью. Модуль силы натяжения нити $F = 330 \text{ мН}$. Плотность атмосферного воздуха $\rho = 1,3 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$. Определите объем шара. Толщиной оболочки пренебречь.

Дано:

Масса оболочки шара, $m = 35,1$ г

Давление гелия, $p = 1,03 \cdot 10^5$ Па

Температура, $t = 27$ °C

Сила натяжения нити, $F = 330$ мН

Плотность воздуха, $\rho_{возд} = 1,3 \frac{кг}{м^3}$

Молярная масса гелия, $M_{He} = 4 \cdot 10^{-3} \frac{кг}{моль}$

Универсальная газовая постоянная, $R = 8,31 \frac{Дж}{моль \cdot К}$

Ускорение свободного падения, $g = 9,8 \frac{м}{с^2}$

Перевод в систему СИ:

$m = 35,1 \cdot 10^{-3} \text{ кг} = 0,0351 \text{ кг}$

$T = t + 273 = 27 + 273 = 300 \text{ К}$

$F = 330 \cdot 10^{-3} \text{ Н} = 0,330 \text{ Н}$

Найти:

Объем шара, $V$.

Решение:

Шар находится в равновесии, поэтому сумма всех сил, действующих на него, равна нулю. Запишем условие равновесия для шара в проекции на вертикальную ось, направленную вверх. На шар действуют следующие силы:

1. Сила Архимеда ($F_A$), направленная вверх.

2. Сила тяжести оболочки шара ($P_{об} = m \cdot g$), направленная вниз.

3. Сила тяжести гелия внутри шара ($P_{He} = m_{He} \cdot g$), направленная вниз.

4. Сила натяжения нити ($F$), направленная вниз.

Условие равновесия имеет вид:

$F_A = P_{об} + P_{He} + F$

Сила Архимеда равна весу вытесненного воздуха:

$F_A = \rho_{возд} \cdot g \cdot V$

где $V$ - искомый объем шара.

Массу гелия ($m_{He}$) найдем из уравнения состояния идеального газа (уравнения Менделеева-Клапейрона):

$p \cdot V = \frac{m_{He}}{M_{He}} \cdot R \cdot T$

Отсюда масса гелия:

$m_{He} = \frac{p \cdot V \cdot M_{He}}{R \cdot T}$

Подставим выражения для сил в уравнение равновесия:

$\rho_{возд} \cdot g \cdot V = m \cdot g + \left(\frac{p \cdot V \cdot M_{He}}{R \cdot T}\right) \cdot g + F$

Сгруппируем слагаемые, содержащие объем $V$, в левой части уравнения:

$\rho_{возд} \cdot g \cdot V - \frac{p \cdot M_{He} \cdot g}{R \cdot T} \cdot V = m \cdot g + F$

Вынесем $V$ за скобки:

$V \cdot \left( \rho_{возд} \cdot g - \frac{p \cdot M_{He} \cdot g}{R \cdot T} \right) = m \cdot g + F$

Выразим из этого уравнения объем $V$:

$V = \frac{m \cdot g + F}{g \cdot \left( \rho_{возд} - \frac{p \cdot M_{He}}{R \cdot T} \right)}$

Выражение $\frac{p \cdot M_{He}}{R \cdot T}$ представляет собой плотность гелия $\rho_{He}$ при данных условиях. Рассчитаем ее:

$\rho_{He} = \frac{1,03 \cdot 10^5 \text{ Па} \cdot 4 \cdot 10^{-3} \frac{кг}{моль}}{8,31 \frac{Дж}{моль \cdot К} \cdot 300 \text{ К}} = \frac{412}{2493} \approx 0,165 \frac{кг}{м^3}$

Теперь подставим все числовые значения в формулу для объема шара:

$V = \frac{0,0351 \text{ кг} \cdot 9,8 \frac{м}{с^2} + 0,330 \text{ Н}}{9,8 \frac{м}{с^2} \cdot \left( 1,3 \frac{кг}{м^3} - 0,165 \frac{кг}{м^3} \right)} = \frac{0,34398 \text{ Н} + 0,330 \text{ Н}}{9,8 \frac{м}{с^2} \cdot 1,135 \frac{кг}{м^3}} = \frac{0,67398 \text{ Н}}{11,123 \frac{Н}{м^3}} \approx 0,0606 \text{ м}^3$

Наименее точное из заданных значений — плотность воздуха ($\rho_{возд} = 1,3 \frac{кг}{м^3}$), которое имеет две значащие цифры. Поэтому округлим полученный результат до двух значащих цифр.

$V \approx 0,061 \text{ м}^3$

Ответ: $V \approx 0,061 \text{ м}^3$.