Номер 142, страница 29 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

142. После того как протопили печь в комнате, температура воздуха в ней поднялась от $t_1 = 15 ^{\circ}\text{C}$ до $t_2 = 27 ^{\circ}\text{C}$. На сколько процентов уменьшилось число молекул воздуха в этой комнате, если атмосферное давление в ней не изменилось?

Дано:

Начальная температура воздуха: $t_1 = 15^\circ$C

Конечная температура воздуха: $t_2 = 27^\circ$C

Давление постоянно: $P = \text{const}$

Объем комнаты постоянен: $V = \text{const}$

Перевод в систему СИ:

Для расчетов в газовых законах используется абсолютная температура в Кельвинах (К). Связь между температурой в градусах Цельсия ($t$) и Кельвинах ($T$) выражается формулой $T = t + 273,15$. Для упрощения расчетов часто используют значение 273.

$T_1 = 15 + 273 = 288$ К

$T_2 = 27 + 273 = 300$ К

Найти:

Относительное уменьшение числа молекул в процентах: $\frac{N_1 - N_2}{N_1} \cdot 100\%$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся уравнением состояния идеального газа, записанным через число молекул $N$:

$PV = NkT$

где $P$ – давление, $V$ – объем, $N$ – число молекул, $k$ – постоянная Больцмана, $T$ – абсолютная температура.

Запишем это уравнение для двух состояний воздуха в комнате: до и после протопки печи.

1. Начальное состояние (до протопки):

$P_1V_1 = N_1kT_1$

2. Конечное состояние (после протопки):

$P_2V_2 = N_2kT_2$

По условию задачи, комната не является герметичной, поэтому воздух может свободно выходить из нее при нагревании. Это означает, что давление внутри комнаты остается равным атмосферному, то есть $P_1 = P_2 = P$. Объем комнаты также не изменяется, $V_1 = V_2 = V$.

Следовательно, мы можем записать:

$PV = N_1kT_1$

$PV = N_2kT_2$

Поскольку левые части уравнений равны, мы можем приравнять их правые части:

$N_1kT_1 = N_2kT_2$

Сократим постоянную Больцмана $k$:

$N_1T_1 = N_2T_2$

Из этого соотношения выразим отношение числа молекул в конечном состоянии к начальному:

$\frac{N_2}{N_1} = \frac{T_1}{T_2}$

Нас просят найти, на сколько процентов уменьшилось число молекул. Это можно вычислить по формуле:

$\frac{\Delta N}{N_1} \cdot 100\% = \frac{N_1 - N_2}{N_1} \cdot 100\% = \left(1 - \frac{N_2}{N_1}\right) \cdot 100\%$

Подставим в эту формулу полученное ранее соотношение для $\frac{N_2}{N_1}$:

$\left(1 - \frac{T_1}{T_2}\right) \cdot 100\% = \frac{T_2 - T_1}{T_2} \cdot 100\%$

Теперь подставим числовые значения абсолютных температур:

$\frac{300 \text{ К} - 288 \text{ К}}{300 \text{ К}} \cdot 100\% = \frac{12}{300} \cdot 100\% = \frac{1}{25} \cdot 100\% = 0,04 \cdot 100\% = 4\%$

Ответ: число молекул воздуха в этой комнате уменьшилось на 4%.