Номер 140, страница 29 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

140. В баллоне находился гелий под давлением $p_1 = 100 \text{ кПа}$ при температуре $t_1 = 27 \degree\text{C}$. Массу гелия в баллоне уменьшили в два раза, а оставшийся газ нагрели. Определите среднюю кинетическую энергию поступательного движения атомов гелия, оставшегося в баллоне, если конечное давление газа $p_2 = 90 \text{ кПа}$.

Дано:

$p_1 = 100 \text{ кПа} = 1 \cdot 10^5 \text{ Па}$

$t_1 = 27 \text{ °C}$

$T_1 = 27 + 273 = 300 \text{ К}$

$m_2 = \frac{m_1}{2}$

$p_2 = 90 \text{ кПа} = 9 \cdot 10^4 \text{ Па}$

Найти:

$E_{k2}$

Решение:

Средняя кинетическая энергия поступательного движения атомов идеального газа связана с его абсолютной температурой $T$ соотношением:

$E_k = \frac{3}{2} k T$

где $k \approx 1.38 \cdot 10^{-23} \text{ Дж/К}$ — постоянная Больцмана.

Для определения искомой энергии $E_{k2}$ необходимо найти конечную температуру газа $T_2$. Сделаем это с помощью уравнения состояния идеального газа (уравнения Менделеева-Клапейрона). Запишем его для начального и конечного состояний гелия в баллоне, объем которого $V$ постоянен.

Начальное состояние (1):

$p_1 V = \frac{m_1}{M} R T_1$

Конечное состояние (2):

$p_2 V = \frac{m_2}{M} R T_2$

Здесь $M$ – молярная масса гелия, $R$ – универсальная газовая постоянная.

Разделим уравнение для конечного состояния на уравнение для начального состояния:

$\frac{p_2 V}{p_1 V} = \frac{\frac{m_2}{M} R T_2}{\frac{m_1}{M} R T_1}$

Сократив общие множители ($V, M, R$), получим:

$\frac{p_2}{p_1} = \frac{m_2 T_2}{m_1 T_1}$

Выразим из этого соотношения конечную температуру $T_2$:

$T_2 = T_1 \cdot \frac{p_2}{p_1} \cdot \frac{m_1}{m_2}$

Согласно условию задачи, масса гелия уменьшилась в два раза, следовательно, $\frac{m_1}{m_2} = 2$. Подставим известные значения и вычислим $T_2$:

$T_2 = 300 \text{ К} \cdot \frac{9 \cdot 10^4 \text{ Па}}{1 \cdot 10^5 \text{ Па}} \cdot 2 = 300 \cdot 0.9 \cdot 2 = 540 \text{ К}$

Теперь можно рассчитать среднюю кинетическую энергию поступательного движения атомов гелия в конечном состоянии:

$E_{k2} = \frac{3}{2} k T_2 = \frac{3}{2} \cdot 1.38 \cdot 10^{-23} \frac{\text{Дж}}{\text{К}} \cdot 540 \text{ К} = 1.1178 \cdot 10^{-20} \text{ Дж} \approx 1.12 \cdot 10^{-20} \text{ Дж}$

Ответ: $1.12 \cdot 10^{-20} \text{ Дж}$.