Номер 143, страница 30 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

143. В комнате объемом $V = 60 \text{ м}^3$ температура воздуха летом достигает $t_1 = 33 \text{ °C}$, а зимой опускается до $t_2 = 13 \text{ °C}$.

На сколько отличается масса воздуха, находящегося в комнате, зимой и летом, если атмосферное давление одинаковое — $p_0 = 100 \text{ кПа}$? Молярная масса воздуха

$M = 0,029 \frac{\text{кг}}{\text{моль}}$.

Дано:

$V = 60 \text{ м}^3$

$t_1 = 33°C$

$t_2 = 13°C$

$p_0 = 100 \text{ кПа}$

$M = 0.029 \frac{\text{кг}}{\text{моль}}$

Переведем данные в систему СИ:

Температура летом: $T_1 = t_1 + 273 = 33 + 273 = 306 \text{ К}$

Температура зимой: $T_2 = t_2 + 273 = 13 + 273 = 286 \text{ К}$

Давление: $p_0 = 100 \text{ кПа} = 100 \cdot 10^3 \text{ Па} = 10^5 \text{ Па}$

Универсальная газовая постоянная $R \approx 8.31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}}$

Найти:

$\Delta m$

Решение:

Для нахождения массы воздуха в комнате воспользуемся уравнением состояния идеального газа (уравнением Менделеева-Клапейрона):

$p V = \nu R T$

где $\nu$ – количество вещества, которое можно выразить через массу $m$ и молярную массу $M$:

$\nu = \frac{m}{M}$

Подставим это выражение в уравнение состояния:

$p V = \frac{m}{M} R T$

Выразим массу $m$ из этого уравнения:

$m = \frac{p V M}{R T}$

Найдем массу воздуха в комнате летом ($m_1$) при температуре $T_1$ и зимой ($m_2$) при температуре $T_2$. Давление $p_0$ и объем $V$ остаются постоянными.

Масса воздуха летом:

$m_1 = \frac{p_0 V M}{R T_1}$

Масса воздуха зимой:

$m_2 = \frac{p_0 V M}{R T_2}$

Разница масс воздуха зимой и летом будет равна:

$\Delta m = m_2 - m_1 = \frac{p_0 V M}{R T_2} - \frac{p_0 V M}{R T_1}$

Вынесем общий множитель за скобки:

$\Delta m = \frac{p_0 V M}{R} \left( \frac{1}{T_2} - \frac{1}{T_1} \right)$

Подставим числовые значения и произведем расчеты:

$\Delta m = \frac{10^5 \text{ Па} \cdot 60 \text{ м}^3 \cdot 0.029 \frac{\text{кг}}{\text{моль}}}{8.31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}}} \left( \frac{1}{286 \text{ К}} - \frac{1}{306 \text{ К}} \right)$

$\Delta m = \frac{174000}{8.31} \left( \frac{306 - 286}{286 \cdot 306} \right) \text{ кг} \approx 20938.6 \left( \frac{20}{87516} \right) \text{ кг}$

$\Delta m \approx 20938.6 \cdot 0.0002285 \text{ кг} \approx 4.785 \text{ кг}$

Округлим результат до двух значащих цифр, так как объем и молярная масса даны с двумя значащими цифрами.

$\Delta m \approx 4.8 \text{ кг}$

Ответ: масса воздуха в комнате зимой отличается от массы воздуха летом на 4.8 кг (зимой масса больше).