Номер 148, страница 30 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

148. Аэростат наполнен гелием, температура которого $t_1 = 17^\circ\text{C}$, а плотность $\rho = 166 \frac{\text{г}}{\text{м}^3}$. На солнечном свету газ в аэростате нагрелся до температуры $t_2 = 33^\circ\text{C}$. При этом излишек газа вышел через регулировочный клапан, в результате чего масса гелия внутри аэростата уменьшилась на $|\Delta m| = 130 \text{ г}$, а давление осталось прежним. Определите объем аэростата, считая его неизменным.

Дано:

$t_1 = 17 \text{ }^{\circ}C$

$\rho_1 = 166 \text{ г/м}^3$

$t_2 = 33 \text{ }^{\circ}C$

$\Delta m = 130 \text{ г}$

$P = \text{const}$

$V = \text{const}$

Перевод в систему СИ:

$T_1 = 17 + 273 = 290 \text{ К}$

$\rho_1 = 166 \text{ г/м}^3 = 0.166 \text{ кг/м}^3$

$T_2 = 33 + 273 = 306 \text{ К}$

$\Delta m = 130 \text{ г} = 0.130 \text{ кг}$

Найти:

$V$ - ?

Решение:

Запишем уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона) для гелия в начальном и конечном состояниях. Поскольку давление $P$ и объем $V$ аэростата остаются неизменными, мы можем использовать это для связи параметров газа.

Для начального состояния (1):

$P V = \frac{m_1}{M} R T_1$

где $m_1$ – начальная масса гелия, $M$ – молярная масса гелия, $R$ – универсальная газовая постоянная, $T_1$ – начальная абсолютная температура.

Для конечного состояния (2):

$P V = \frac{m_2}{M} R T_2$

где $m_2$ – конечная масса гелия, $T_2$ – конечная абсолютная температура.

Так как левые части уравнений равны, приравняем их правые части:

$\frac{m_1}{M} R T_1 = \frac{m_2}{M} R T_2$

Сократив $R$ и $M$, получаем соотношение:

$m_1 T_1 = m_2 T_2$

По условию задачи, из аэростата вышел излишек газа, в результате чего масса гелия уменьшилась на $\Delta m$. Таким образом, конечная масса $m_2$ связана с начальной $m_1$ как:

$m_2 = m_1 - \Delta m$

Подставим это выражение в полученное соотношение:

$m_1 T_1 = (m_1 - \Delta m) T_2$

Раскроем скобки и выразим начальную массу гелия $m_1$:

$m_1 T_1 = m_1 T_2 - \Delta m T_2$

$m_1 T_2 - m_1 T_1 = \Delta m T_2$

$m_1 (T_2 - T_1) = \Delta m T_2$

$m_1 = \frac{\Delta m T_2}{T_2 - T_1}$

Начальная масса гелия $m_1$ также может быть выражена через начальную плотность $\rho_1$ и объем аэростата $V$:

$m_1 = \rho_1 V$

Отсюда искомый объем $V$ равен:

$V = \frac{m_1}{\rho_1}$

Подставим найденное выражение для $m_1$ в эту формулу:

$V = \frac{1}{\rho_1} \cdot \frac{\Delta m T_2}{T_2 - T_1} = \frac{\Delta m T_2}{\rho_1 (T_2 - T_1)}$

Теперь выполним вычисления, подставив числовые значения из системы СИ:

$V = \frac{0.130 \text{ кг} \cdot 306 \text{ К}}{0.166 \text{ кг/м}^3 \cdot (306 \text{ К} - 290 \text{ К})} = \frac{0.130 \cdot 306}{0.166 \cdot 16} \text{ м}^3 = \frac{39.78}{2.656} \text{ м}^3 \approx 14.977 \text{ м}^3$

Округляя результат до трех значащих цифр, получаем:

$V \approx 15.0 \text{ м}^3$

Ответ: $15.0 \text{ м}^3$.