Номер 153, страница 31 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

153. На электроплитке мощностью $P = 1,0 \text{ кВт}$ кипит вода в чайнике. Определите модуль средней скорости выхода пара из носика чайника, площадь поперечного сечения которого $S = 1,0 \text{ см}^2$. Давление пара на выходе из чайника равно атмосферному давлению $p_0 = 1,0 \cdot 10^5 \text{ Па}$. Половина количества теплоты, выделяемой плиткой, передается воде. Температура кипения воды $t_{\text{к}} = 100 \text{ °С}$.

Дано:

Мощность плитки $P = 1,0 \text{ кВт}$
Площадь поперечного сечения носика $S = 1,0 \text{ см}^2$
Давление пара $p_0 = 1,0 \cdot 10^5 \text{ Па}$
Температура кипения воды $t_к = 100 \text{ °C}$
Доля теплоты, передаваемая воде $\eta = 0,5$

$P = 1,0 \cdot 10^3 \text{ Вт}$
$S = 1,0 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$
$T_к = 100 + 273,15 = 373,15 \text{ К}$

Найти:

$v$ - модуль средней скорости выхода пара.

Решение:

Полезная мощность $P_{полезн}$, которая идет на парообразование, составляет половину от полной мощности электроплитки:

$P_{полезн} = \eta P$

Эта мощность расходуется на превращение кипящей воды в пар. Количество теплоты $Q$, необходимое для испарения массы воды $\Delta m$, определяется формулой $Q = L \cdot \Delta m$, где $L$ – удельная теплота парообразования воды (при $100 \text{ °C}$ $L \approx 2,26 \cdot 10^6 \text{ Дж/кг}$).

Мощность можно выразить как количество теплоты, переданное за единицу времени $\Delta t$:

$P_{полезн} = \frac{Q}{\Delta t} = \frac{L \cdot \Delta m}{\Delta t}$

Отсюда можно найти массовый расход пара (массу пара, выходящего из носика в секунду):

$\frac{\Delta m}{\Delta t} = \frac{\eta P}{L}$

С другой стороны, массовый расход пара можно выразить через его скорость $v$, плотность $\rho$ и площадь сечения носика $S$. За время $\Delta t$ из носика выйдет объем пара $\Delta V = S \cdot v \cdot \Delta t$. Масса этого пара $\Delta m = \rho \cdot \Delta V = \rho \cdot S \cdot v \cdot \Delta t$.

Следовательно, массовый расход равен:

$\frac{\Delta m}{\Delta t} = \rho S v$

Приравнивая два полученных выражения для массового расхода, получаем:

$\rho S v = \frac{\eta P}{L}$

Из этого уравнения выражаем искомую скорость $v$:

$v = \frac{\eta P}{\rho S L}$

Плотность водяного пара $\rho$ при температуре кипения $T_к$ и атмосферном давлении $p_0$ найдем, считая пар идеальным газом, из уравнения состояния идеального газа (уравнения Менделеева-Клапейрона): $p_0 V = \frac{m}{M} R T_к$, где $M$ – молярная масса воды ($M \approx 0,018 \text{ кг/моль}$), $R$ – универсальная газовая постоянная ($R \approx 8,31 \text{ Дж/(моль·К)}$).

Выразим плотность $\rho = \frac{m}{V}$ из этого уравнения:

$\rho = \frac{p_0 M}{R T_к}$

Подставим выражение для плотности в формулу для скорости:

$v = \frac{\eta P}{(\frac{p_0 M}{R T_к}) S L} = \frac{\eta P R T_к}{p_0 M S L}$

Подставим числовые значения в итоговую формулу:

$v = \frac{0,5 \cdot 1,0 \cdot 10^3 \text{ Вт} \cdot 8,31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \cdot 373,15 \text{ К}}{1,0 \cdot 10^5 \text{ Па} \cdot 0,018 \frac{\text{кг}}{\text{моль}} \cdot 1,0 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 \cdot 2,26 \cdot 10^6 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}}$

$v = \frac{1550472,75}{406800} \approx 3,8 \text{ м/с}$

Ответ: модуль средней скорости выхода пара из носика чайника равен приблизительно $3,8 \text{ м/с}$.