Номер 160, страница 33 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

160. Вертикально расположенный цилиндр, закрытый с обоих концов, делится на две части гладким подвижным поршнем. Число молекул идеального газа, находящегося под поршнем, в $\alpha = 3$ раза больше, чем число молекул идеального газа, находящегося над поршнем. Молярные массы газов одинаковые. При температуре $T_1 = 300 K$ поршень делит цилиндр пополам. Во сколько раз объем газа, находящегося под поршнем, будет больше объема газа, находящегося над поршнем, при температуре $T_2 = 800 K$?

Дано:

$ \frac{n_1}{n_2} = \alpha = 3 $

$ T_1 = 300 \, К $

$ V_{1,1} = V_{2,1} $

$ T_2 = 800 \, К $

Найти:

$ \frac{V_{1,2}}{V_{2,2}} $

Решение:

Обозначим параметры газа под поршнем индексом 1, а над поршнем — индексом 2. Поскольку число молекул газа под поршнем в 3 раза больше, то и количество вещества (число молей) также в 3 раза больше: $n_1 = 3n_2$.

Поршень находится в равновесии, когда силы, действующие на него, скомпенсированы. В вертикальном цилиндре на поршень действуют сила давления нижнего газа $F_1 = P_1 S$ (вверх), сила давления верхнего газа $F_2 = P_2 S$ (вниз) и сила тяжести поршня $mg$ (вниз), где $S$ — площадь поршня, $m$ — его масса.

Условие равновесия поршня:

$P_1 S = P_2 S + mg$

Отсюда следует, что давление под поршнем всегда больше давления над поршнем на постоянную величину:

$P_1 - P_2 = \frac{mg}{S} = \Delta P = \text{const}$

Рассмотрим начальное состояние системы при температуре $T_1 = 300 \, К$.

По условию, поршень делит цилиндр пополам, значит объемы газов равны. Обозначим их $V_{1,1} = V_{2,1} = V_0$.

Запишем уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона) для каждой части цилиндра:

$P_{1,1} V_0 = n_1 R T_1 = 3n_2 R T_1$

$P_{2,1} V_0 = n_2 R T_1$

Разделив первое уравнение на второе, получим соотношение давлений в начальном состоянии:

$\frac{P_{1,1}}{P_{2,1}} = 3$, то есть $P_{1,1} = 3P_{2,1}$.

Подставим это соотношение в условие равновесия поршня:

$P_{1,1} - P_{2,1} = \Delta P \implies 3P_{2,1} - P_{2,1} = \Delta P \implies \Delta P = 2P_{2,1}$

Выразим $\Delta P$ через начальные параметры, используя уравнение для верхнего газа: $\Delta P = 2 \frac{n_2 R T_1}{V_0}$.

Теперь рассмотрим конечное состояние системы при температуре $T_2 = 800 \, К$.

Пусть новые объемы газов равны $V_{1,2}$ и $V_{2,2}$. Общий объем цилиндра остается неизменным: $V_{1,2} + V_{2,2} = 2V_0$.

Запишем уравнения состояния для конечного состояния:

$P_{1,2} V_{1,2} = n_1 R T_2 = 3n_2 R T_2$

$P_{2,2} V_{2,2} = n_2 R T_2$

Условие равновесия поршня остается тем же:

$P_{1,2} - P_{2,2} = \Delta P$

Выразим давления $P_{1,2}$ и $P_{2,2}$ из уравнений состояния и подставим в условие равновесия:

$\frac{3n_2 R T_2}{V_{1,2}} - \frac{n_2 R T_2}{V_{2,2}} = \Delta P$

Теперь подставим сюда выражение для $\Delta P$, найденное ранее: $\Delta P = 2 \frac{n_2 R T_1}{V_0}$.

$\frac{3n_2 R T_2}{V_{1,2}} - \frac{n_2 R T_2}{V_{2,2}} = \frac{2n_2 R T_1}{V_0}$

Сократим на общий множитель $n_2 R$:

$\frac{3T_2}{V_{1,2}} - \frac{T_2}{V_{2,2}} = \frac{2T_1}{V_0}$

Обозначим искомое отношение объемов как $x = \frac{V_{1,2}}{V_{2,2}}$. Тогда $V_{1,2} = xV_{2,2}$.

Из условия сохранения общего объема: $xV_{2,2} + V_{2,2} = 2V_0 \implies V_{2,2}(x+1) = 2V_0 \implies V_{2,2} = \frac{2V_0}{x+1}$.

Тогда $V_{1,2} = x \frac{2V_0}{x+1} = \frac{2xV_0}{x+1}$.

Подставим выражения для $V_{1,2}$ и $V_{2,2}$ в уравнение для давлений:

$\frac{3T_2(x+1)}{2xV_0} - \frac{T_2(x+1)}{2V_0} = \frac{2T_1}{V_0}$

Умножим обе части уравнения на $2V_0$:

$\frac{3T_2(x+1)}{x} - T_2(x+1) = 4T_1$

Вынесем $T_2(x+1)$ за скобки:

$T_2(x+1) \left(\frac{3}{x} - 1\right) = 4T_1$

$T_2(x+1) \frac{3-x}{x} = 4T_1$

Перегруппируем и получим квадратное уравнение относительно $x$. Умножим обе части на $x$ и раскроем скобки:

$T_2(3x - x^2 + 3 - x) = 4T_1 x$

$T_2(-x^2 + 2x + 3) = 4T_1 x$

$-T_2 x^2 + 2T_2 x + 3T_2 = 4T_1 x$

$T_2 x^2 + (4T_1 - 2T_2)x - 3T_2 = 0$

Подставим числовые значения $T_1 = 300 \, К$ и $T_2 = 800 \, К$:

$800x^2 + (4 \cdot 300 - 2 \cdot 800)x - 3 \cdot 800 = 0$

$800x^2 + (1200 - 1600)x - 2400 = 0$

$800x^2 - 400x - 2400 = 0$

Разделим уравнение на 400:

$2x^2 - x - 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(2)(-6) = 1 + 48 = 49 = 7^2$

Корни уравнения:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 7}{4}$

$x_1 = \frac{1+7}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$x_2 = \frac{1-7}{4} = -\frac{6}{4} = -1.5$

Поскольку $x$ представляет собой отношение объемов, оно должно быть положительным. Следовательно, физический смысл имеет только корень $x_1 = 2$.

Ответ: 2.