Номер 156, страница 32 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

156. Два баллона соединены между собой тонкой трубкой с краном. В одном баллоне находится газ массой $m_1 = 2,0$ г под давлением $p_1 = 0,40$ МПа, в другом — такой же газ массой $m_2 = 4,0$ г под давлением $p_2 = 0,20$ МПа. Какое давление установится в баллонах, если открыть кран? Температура газов одинаковая.

Дано:

$m_1 = 2,0$ г

$p_1 = 0,40$ МПа

$m_2 = 4,0$ г

$p_2 = 0,20$ МПа

$T = const$

Перевод в систему СИ:

$m_1 = 2,0 \times 10^{-3}$ кг

$p_1 = 0,40 \times 10^6$ Па

$m_2 = 4,0 \times 10^{-3}$ кг

$p_2 = 0,20 \times 10^6$ Па

Найти:

$p$ — конечное давление в баллонах.

Решение:

Состояние газа в каждом баллоне до открытия крана описывается уравнением состояния идеального газа (уравнением Менделеева-Клапейрона):

$pV = \frac{m}{M}RT$

где $p$ — давление, $V$ — объем, $m$ — масса газа, $M$ — молярная масса газа, $R$ — универсальная газовая постоянная, $T$ — абсолютная температура.

Для первого баллона:

$p_1 V_1 = \frac{m_1}{M}RT$

Для второго баллона:

$p_2 V_2 = \frac{m_2}{M}RT$

Поскольку температура $T$, молярная масса $M$ и газовая постоянная $R$ являются постоянными величинами, мы можем выразить объемы баллонов $V_1$ и $V_2$ из этих уравнений:

$V_1 = \frac{m_1 RT}{p_1 M}$

$V_2 = \frac{m_2 RT}{p_2 M}$

После открытия крана газы смешиваются. Общая масса газа в системе становится $m = m_1 + m_2$, а общий объем, который занимает газ, становится $V = V_1 + V_2$. В системе устанавливается новое, конечное давление $p$ при той же температуре $T$.

Запишем уравнение состояния для объединенной системы:

$p V = \frac{m}{M}RT$

Подставим в это уравнение выражения для общей массы и общего объема:

$p (V_1 + V_2) = \frac{m_1 + m_2}{M}RT$

Из этого уравнения выразим искомое давление $p$:

$p = \frac{(m_1 + m_2)RT}{M(V_1 + V_2)}$

Теперь подставим в знаменатель ранее полученные выражения для объемов $V_1$ и $V_2$:

$p = \frac{(m_1 + m_2)RT}{M(\frac{m_1 RT}{p_1 M} + \frac{m_2 RT}{p_2 M})}$

Вынесем в знаменателе за скобки общий множитель $\frac{RT}{M}$:

$p = \frac{(m_1 + m_2)RT}{M \frac{RT}{M} (\frac{m_1}{p_1} + \frac{m_2}{p_2})}$

Сокращая одинаковые множители $M$ и $RT$ в числителе и знаменателе, получаем окончательную расчетную формулу:

$p = \frac{m_1 + m_2}{\frac{m_1}{p_1} + \frac{m_2}{p_2}}$

Подставим числовые значения из условия задачи. Вычисления можно проводить в заданных единицах, так как единицы массы (г) сократятся, и результат для давления будет в МПа.

$p = \frac{2,0 \text{ г} + 4,0 \text{ г}}{\frac{2,0 \text{ г}}{0,40 \text{ МПа}} + \frac{4,0 \text{ г}}{0,20 \text{ МПа}}} = \frac{6,0 \text{ г}}{5,0 \frac{\text{г}}{\text{МПа}} + 20,0 \frac{\text{г}}{\text{МПа}}} = \frac{6,0 \text{ г}}{25,0 \frac{\text{г}}{\text{МПа}}} = 0,24 \text{ МПа}$

Ответ: установившееся давление в баллонах будет равно $0,24$ МПа.