Номер 159, страница 33 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

159. Вертикально расположенный цилиндрический сосуд высотой $H = 50$ см разделен подвижным гладким поршнем на две части, в каждой из которых содержится одинаковое количество идеального газа. Сосуд закрыт с обоих концов. Модуль веса поршня $P = 100$ Н. Определите количество вещества газа, находящегося в каждой части цилиндра, если при температуре $T = 289$ К поршень находится на высоте $h = 20$ см от дна сосуда. Толщиной поршня пренебречь.

Дано:

$H = 50 \text{ см}$

$P = 100 \text{ Н}$

$T = 289 \text{ К}$

$h = 20 \text{ см}$

$R \approx 8.31 \text{ Дж/(моль} \cdot \text{К)}$

$H = 0.5 \text{ м}$
$h = 0.2 \text{ м}$

Найти:

$\nu$

Решение:

Обозначим давление, объем и количество вещества газа в нижней части сосуда как $p_1, V_1, \nu_1$, а в верхней части – как $p_2, V_2, \nu_2$. По условию, количество вещества в обеих частях одинаково: $\nu_1 = \nu_2 = \nu$. Температура газа в обеих частях также одинакова и равна $T$.

Запишем уравнения состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона) для каждой части сосуда.

Для нижней части:

$p_1 V_1 = \nu R T$

Объем нижней части равен $V_1 = S \cdot h$, где $S$ – площадь поперечного сечения цилиндра.

$p_1 S h = \nu R T$ (1)

Для верхней части:

$p_2 V_2 = \nu R T$

Высота верхней части равна $H - h$. Тогда ее объем $V_2 = S \cdot (H-h)$.

$p_2 S (H-h) = \nu R T$ (2)

Поршень находится в равновесии. Это означает, что сумма сил, действующих на него, равна нулю. На поршень действуют три силы: сила давления газа снизу $F_1$, направленная вверх, сила давления газа сверху $F_2$, направленная вниз, и сила тяжести (вес поршня) $P$, направленная вниз.

Условие равновесия поршня:

$F_1 = F_2 + P$

Силы давления газов выражаются через давления и площадь поршня: $F_1 = p_1 S$ и $F_2 = p_2 S$.

$p_1 S = p_2 S + P$

Отсюда $p_1 S - p_2 S = P$ или $(p_1 - p_2)S = P$.

Из уравнений (1) и (2) выразим $p_1 S$ и $p_2 S$:

$p_1 S = \frac{\nu R T}{h}$

$p_2 S = \frac{\nu R T}{H-h}$

Подставим эти выражения в условие равновесия:

$\frac{\nu R T}{h} - \frac{\nu R T}{H-h} = P$

Вынесем за скобки общий множитель $\nu R T$:

$\nu R T \left( \frac{1}{h} - \frac{1}{H-h} \right) = P$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:

$\nu R T \left( \frac{H-h-h}{h(H-h)} \right) = P$

$\nu R T \frac{H-2h}{h(H-h)} = P$

Выразим искомое количество вещества $\nu$:

$\nu = \frac{P \cdot h(H-h)}{RT(H-2h)}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$\nu = \frac{100 \text{ Н} \cdot 0.2 \text{ м} \cdot (0.5 \text{ м} - 0.2 \text{ м})}{8.31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \cdot 289 \text{ К} \cdot (0.5 \text{ м} - 2 \cdot 0.2 \text{ м})}$

$\nu = \frac{100 \cdot 0.2 \cdot 0.3}{8.31 \cdot 289 \cdot (0.5 - 0.4)} = \frac{100 \cdot 0.06}{8.31 \cdot 289 \cdot 0.1}$

$\nu = \frac{6}{240.159} \approx 0.025 \text{ моль}$

Ответ: количество вещества газа в каждой части цилиндра составляет приблизительно $0.025 \text{ моль}$.