Номер 154, страница 32 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

154. Зависимость давления идеального газа от его объема имеет вид: $p = \alpha V$, где $\alpha$ — постоянная величина. Во сколько раз увеличится объем газа при повышении его температуры от $T_1 = 280 \text{ К}$ до $T_2 = 630 \text{ К}$?

Дано:

Зависимость давления от объема: $p = \alpha V$

Начальная температура: $T_1 = 280 \text{ К}$

Конечная температура: $T_2 = 630 \text{ К}$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Отношение объемов $\frac{V_2}{V_1}$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся уравнением состояния идеального газа (уравнением Менделеева-Клапейрона):

$pV = \nu RT$

где $p$ – давление, $V$ – объем, $\nu$ – количество вещества, $R$ – универсальная газовая постоянная, $T$ – абсолютная температура.

По условию задачи, зависимость давления от объема имеет вид $p = \alpha V$. Подставим это выражение в уравнение состояния идеального газа:

$(\alpha V)V = \nu RT$

$\alpha V^2 = \nu RT$

Отсюда можно выразить соотношение между квадратом объема и температурой. Так как количество вещества $\nu$, универсальная газовая постоянная $R$ и коэффициент $\alpha$ являются постоянными величинами (при условии, что масса газа не меняется), то:

$\frac{V^2}{T} = \frac{\nu R}{\alpha} = \text{const}$

Это означает, что для двух состояний газа (начального с параметрами $V_1, T_1$ и конечного с параметрами $V_2, T_2$) справедливо равенство:

$\frac{V_1^2}{T_1} = \frac{V_2^2}{T_2}$

Из этого соотношения найдем, во сколько раз увеличится объем газа, то есть найдем отношение $\frac{V_2}{V_1}$:

$\frac{V_2^2}{V_1^2} = \frac{T_2}{T_1}$

$(\frac{V_2}{V_1})^2 = \frac{T_2}{T_1}$

$\frac{V_2}{V_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи:

$\frac{V_2}{V_1} = \sqrt{\frac{630}{280}} = \sqrt{\frac{63}{28}} = \sqrt{\frac{9 \cdot 7}{4 \cdot 7}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2} = 1,5$

Таким образом, объем газа увеличится в 1,5 раза.

Ответ: объем газа увеличится в 1,5 раза.