Номер 150, страница 31 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

150. Шар объемом $V = 0,11 м^3$, изготовленный из тонкой бумаги, наполнен горячим воздухом, имеющим температуру $T_1 = 340 К$. Температура атмосферного воздуха $T_2 = 290 К$. Давление воздуха внутри шара и атмосферное давление одинаковы: $p_1 = p_0 = 1 \cdot 10^5 Па$. Определите массу бумажной оболочки шара, если он равномерно и медленно поднимается вверх. Молярная масса воздуха $M = 29 \frac{г}{моль}$.

Дано:

$V = 0.11 \, м^3$

$T_1 = 340 \, К$

$T_2 = 290 \, К$

$p_0 = 1 \cdot 10^5 \, Па$

$M = 29 \, г/моль = 29 \cdot 10^{-3} \, кг/моль$

$R \approx 8.31 \, Дж/(моль \cdot К)$

Найти:

$m_{об}$ - ?

Решение:

Шар поднимается равномерно и медленно, это означает, что сумма всех действующих на него сил равна нулю (согласно первому закону Ньютона). На шар действуют три силы: сила тяжести горячего воздуха внутри шара $F_{g1}$, сила тяжести бумажной оболочки $F_{g,об}$ и выталкивающая сила Архимеда $F_A$.

Силы тяжести направлены вниз, а сила Архимеда — вверх. Условие равновесия можно записать в виде:

$F_A = F_{g1} + F_{g,об}$

Сила Архимеда равна весу вытесненного атмосферного (холодного) воздуха:

$F_A = m_2 g$

где $m_2$ — масса вытесненного воздуха объемом $V$ при температуре $T_2$.

Сила тяжести горячего воздуха внутри шара:

$F_{g1} = m_1 g$

где $m_1$ — масса горячего воздуха в объеме $V$ при температуре $T_1$.

Сила тяжести оболочки:

$F_{g,об} = m_{об} g$

Подставим выражения для сил в уравнение равновесия:

$m_2 g = m_1 g + m_{об} g$

Сократив на $g$, получим выражение для массы оболочки:

$m_{об} = m_2 - m_1$

Массы воздуха $m_1$ и $m_2$ найдем из уравнения состояния идеального газа (уравнения Менделеева-Клапейрона):

$p V = \frac{m}{M} R T$

Отсюда масса газа выражается как:

$m = \frac{p V M}{R T}$

Масса горячего воздуха внутри шара ($m_1$) при давлении $p_0$ и температуре $T_1$:

$m_1 = \frac{p_0 V M}{R T_1}$

Масса вытесненного атмосферного воздуха ($m_2$) при давлении $p_0$ и температуре $T_2$:

$m_2 = \frac{p_0 V M}{R T_2}$

Теперь подставим выражения для $m_1$ и $m_2$ в формулу для массы оболочки:

$m_{об} = \frac{p_0 V M}{R T_2} - \frac{p_0 V M}{R T_1} = \frac{p_0 V M}{R} \left( \frac{1}{T_2} - \frac{1}{T_1} \right)$

Выполним вычисления:

$m_{об} = \frac{1 \cdot 10^5 \, Па \cdot 0.11 \, м^3 \cdot 29 \cdot 10^{-3} \, кг/моль}{8.31 \, Дж/(моль \cdot К)} \left( \frac{1}{290 \, К} - \frac{1}{340 \, К} \right)$

$m_{об} = \frac{319}{8.31} \left( \frac{340 - 290}{290 \cdot 340} \right) = \frac{319}{8.31} \cdot \frac{50}{98600} \approx 38.387 \cdot 0.000507 \approx 0.01946 \, кг$

Округлим результат до двух значащих цифр, так как объем и молярная масса даны с такой точностью.

$m_{об} \approx 0.019 \, кг = 19 \, г$

Ответ: $m_{об} \approx 0.019 \, кг$.