Номер 144, страница 30 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

144. В баллоне находился идеальный газ. Когда часть газа выпустили, абсолютная температура газа в баллоне уменьшилась в $\alpha = 1,2$ раза, а давление — в $\beta = 1,5$ раза. На сколько процентов изменилась масса газа в баллоне?

Дано:

$\alpha = \frac{T_1}{T_2} = 1,2$

$\beta = \frac{p_1}{p_2} = 1,5$

Найти:

$\frac{m_1 - m_2}{m_1} \cdot 100\%$

Решение:

Состояние идеального газа описывается уравнением Менделеева-Клапейрона:

$pV = \nu RT$

где $p$ — давление, $V$ — объем, $\nu$ — количество вещества, $R$ — универсальная газовая постоянная, $T$ — абсолютная температура.

Количество вещества $\nu$ можно выразить через массу газа $m$ и его молярную массу $M$:

$\nu = \frac{m}{M}$

Подставим это выражение в уравнение состояния:

$pV = \frac{m}{M}RT$

Запишем это уравнение для начального (1) и конечного (2) состояний газа в баллоне. Объем баллона $V$, молярная масса газа $M$ и газовая постоянная $R$ являются константами.

Для начального состояния:

$p_1 V = \frac{m_1}{M} R T_1$

Для конечного состояния:

$p_2 V = \frac{m_2}{M} R T_2$

Выразим массу газа из этих уравнений:

$m_1 = \frac{p_1 V M}{R T_1}$

$m_2 = \frac{p_2 V M}{R T_2}$

Чтобы найти, как изменилась масса, найдем отношение конечной массы $m_2$ к начальной $m_1$:

$\frac{m_2}{m_1} = \frac{\frac{p_2 V M}{R T_2}}{\frac{p_1 V M}{R T_1}} = \frac{p_2 V M R T_1}{p_1 V M R T_2} = \frac{p_2}{p_1} \cdot \frac{T_1}{T_2}$

По условию задачи, температура уменьшилась в $\alpha$ раз, а давление — в $\beta$ раз. Это означает:

$\frac{T_1}{T_2} = \alpha$

$\frac{p_1}{p_2} = \beta$, откуда следует, что $\frac{p_2}{p_1} = \frac{1}{\beta}$

Подставим эти соотношения в формулу для отношения масс:

$\frac{m_2}{m_1} = \frac{1}{\beta} \cdot \alpha = \frac{\alpha}{\beta}$

Теперь подставим числовые значения, данные в условии:

$\frac{m_2}{m_1} = \frac{1,2}{1,5} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5} = 0,8$

Таким образом, конечная масса газа составляет 0,8 от начальной: $m_2 = 0,8 \cdot m_1$.

Изменение массы $\Delta m$ равно:

$\Delta m = m_1 - m_2 = m_1 - 0,8 m_1 = 0,2 m_1$

Выразим это изменение в процентах по отношению к начальной массе:

$\frac{\Delta m}{m_1} \cdot 100\% = \frac{0,2 m_1}{m_1} \cdot 100\% = 0,2 \cdot 100\% = 20\%$

Ответ: масса газа в баллоне уменьшилась на 20%.