Номер 138, страница 29 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

138. В баллоне находился идеальный газ массой $m_1 = 14$ г при температуре $t_1 = 7°C$. После добавления в баллон такого же газа давление в баллоне повысилось до $p_2 = 320$ кПа, а температура стала $t_2 = 47°C$. Определите начальное давление идеального газа, если в конечном состоянии масса газа в баллоне стала $m_2 = 56$ г.

Дано:
$m_1 = 14$ г $= 0.014$ кг
$t_1 = 7$ °С
$p_2 = 320$ кПа $= 320 \times 10^3$ Па
$t_2 = 47$ °С
$m_2 = 56$ г $= 0.056$ кг

Переведем температуры в абсолютную шкалу (Кельвины):
$T_1 = t_1 + 273 = 7 + 273 = 280$ К
$T_2 = t_2 + 273 = 47 + 273 = 320$ К

Найти:
$p_1$

Решение:

Для решения задачи используем уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона): $pV = \frac{m}{M}RT$, где $p$ – давление, $V$ – объем, $m$ – масса газа, $M$ – молярная масса газа, $R$ – универсальная газовая постоянная, $T$ – абсолютная температура.

Запишем это уравнение для начального (индекс 1) и конечного (индекс 2) состояний газа. Так как газ находится в одном и том же баллоне, его объем $V$ постоянен. Поскольку в баллон добавляли такой же газ, его молярная масса $M$ также не изменилась.

Для начального состояния:
$p_1 V = \frac{m_1}{M} R T_1$ (1)

Для конечного состояния:
$p_2 V = \frac{m_2}{M} R T_2$ (2)

Разделим уравнение (1) на уравнение (2), чтобы исключить неизвестные постоянные величины $V$, $M$ и $R$:

$\frac{p_1 V}{p_2 V} = \frac{\frac{m_1}{M} R T_1}{\frac{m_2}{M} R T_2}$

После сокращения одинаковых множителей в обеих частях уравнения получаем соотношение:

$\frac{p_1}{p_2} = \frac{m_1 T_1}{m_2 T_2}$

Из этого соотношения выразим искомое начальное давление $p_1$:

$p_1 = p_2 \cdot \frac{m_1 T_1}{m_2 T_2}$

Подставим числовые значения и произведем вычисления:

$p_1 = 320 \cdot 10^3 \text{ Па} \cdot \frac{0.014 \text{ кг} \cdot 280 \text{ К}}{0.056 \text{ кг} \cdot 320 \text{ К}} = 320 \cdot 10^3 \cdot \frac{14 \cdot 280}{56 \cdot 320}$

Учитывая, что $\frac{14}{56} = \frac{1}{4}$, получаем:

$p_1 = 320 \cdot 10^3 \cdot \frac{1 \cdot 280}{4 \cdot 320} = 10^3 \cdot \frac{280}{4} = 70 \cdot 10^3 \text{ Па}$

Переведем результат в килопаскали: $70 \cdot 10^3 \text{ Па} = 70 \text{ кПа}$.

Ответ: $p_1 = 70$ кПа.