Номер 135, страница 28 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

135. Сначала в цилиндре под поршнем находился водород объемом $V = 10 \text{ л}$ при температуре $t_1 = 0^\circ \text{C}$ и давлении $p = 4 \text{ МПа}$. Затем часть газа израсходовали, объем оставшегося водорода уменьшили в $\alpha = 2$ раза, а температуру повысили до $t_2 = 17^\circ \text{C}$. Определите массу израсходованного водорода, если конечное давление газа в цилиндре совпало с первоначальным.

Дано:

$V_1 = 10$ л = $10 \cdot 10^{-3}$ м³ = $10^{-2}$ м³
$t_1 = 0$ °C, $T_1 = 0 + 273 = 273$ К
$p = p_1 = p_2 = 4$ МПа = $4 \cdot 10^6$ Па
$\alpha = 2$
$t_2 = 17$ °C, $T_2 = 17 + 273 = 290$ К
Молярная масса водорода (H₂): $M \approx 2 \cdot 10^{-3}$ кг/моль
Универсальная газовая постоянная: $R \approx 8.31$ Дж/(моль·К)

Найти:

$\Delta m$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся уравнением состояния идеального газа (уравнением Менделеева-Клапейрона): $pV = \frac{m}{M}RT$, где $p$ – давление газа, $V$ – его объем, $m$ – масса газа, $M$ – молярная масса газа, $R$ – универсальная газовая постоянная, $T$ – абсолютная температура.

Запишем это уравнение для начального состояния водорода (до расхода). Обозначим начальные параметры индексом 1:
$p_1 V_1 = \frac{m_1}{M} R T_1$

Из этого уравнения мы можем выразить начальную массу водорода $m_1$:
$m_1 = \frac{p_1 V_1 M}{R T_1}$

После того как часть газа израсходовали, масса газа стала $m_2$. Объем оставшегося водорода уменьшили в $\alpha$ раз, то есть новый объем стал $V_2 = V_1 / \alpha$. Температура и давление также изменились. Запишем уравнение состояния для конечного состояния газа (параметры с индексом 2):
$p_2 V_2 = \frac{m_2}{M} R T_2$

Выразим конечную массу водорода $m_2$:
$m_2 = \frac{p_2 V_2 M}{R T_2}$

Масса израсходованного водорода $\Delta m$ равна разности начальной и конечной масс:
$\Delta m = m_1 - m_2$

Подставим выражения для $m_1$ и $m_2$:
$\Delta m = \frac{p_1 V_1 M}{R T_1} - \frac{p_2 V_2 M}{R T_2}$

Согласно условию, конечное давление совпало с первоначальным ($p_2 = p_1 = p$), а конечный объем $V_2 = V_1 / \alpha$. Подставим эти соотношения в формулу:
$\Delta m = \frac{p V_1 M}{R T_1} - \frac{p (V_1/\alpha) M}{R T_2}$

Вынесем общие множители за скобку для удобства расчетов:
$\Delta m = \frac{p V_1 M}{R} \left( \frac{1}{T_1} - \frac{1}{\alpha T_2} \right)$

Подставим числовые значения в итоговую формулу и произведем вычисления:
$\Delta m = \frac{4 \cdot 10^6 \text{ Па} \cdot 10^{-2} \text{ м³} \cdot 2 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}}{8.31 \text{ Дж/(моль·К)}} \left( \frac{1}{273 \text{ К}} - \frac{1}{2 \cdot 290 \text{ К}} \right)$
$\Delta m = \frac{80}{8.31} \left( \frac{1}{273} - \frac{1}{580} \right) \approx 9.627 \cdot (0.003663 - 0.001724) \approx 9.627 \cdot 0.001939 \approx 0.01867$ кг

Переведем полученное значение в граммы: $0.01867$ кг $\approx 18.7$ г.

Ответ: масса израсходованного водорода $\Delta m \approx 18.7$ г.