Номер 128, страница 26 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

128. Внутри герметично закрытого с обоих концов горизонтального цилиндра находится гладкий поршень, плотно прилегающий к стенкам цилиндра. С одной стороны поршня содержится азот объемом $V_1 = 4,0$ л, а с другой — гелий объемом $V_2 = 8,0$ л. Температура газов одинакова. Определите массу азота, если масса гелия $m_2 = 12$ г.

Дано:

$V_1 = 4,0$ л (объем азота)

$V_2 = 8,0$ л (объем гелия)

$m_2 = 12$ г (масса гелия)

Газ 1 - азот ($N_2$), Газ 2 - гелий ($He$).

Цилиндр герметично закрыт, расположен горизонтально. Поршень гладкий и находится в равновесии, следовательно, давления газов равны: $p_1 = p_2$.

Температуры газов одинаковы: $T_1 = T_2$.

Перевод в систему СИ:

$V_1 = 4,0 \cdot 10^{-3}$ м³

$V_2 = 8,0 \cdot 10^{-3}$ м³

$m_2 = 12 \cdot 10^{-3}$ кг

Найти:

$m_1$ - массу азота.

Решение:

Состояние каждого газа описывается уравнением состояния идеального газа (уравнением Менделеева-Клапейрона):

$pV = \frac{m}{M}RT$

где $p$ — давление, $V$ — объем, $m$ — масса газа, $M$ — молярная масса газа, $R$ — универсальная газовая постоянная, $T$ — абсолютная температура.

Запишем это уравнение для азота (индекс 1) и гелия (индекс 2). Учтем, что по условию поршень в равновесии, значит $p_1 = p_2 = p$, и температуры газов равны, $T_1 = T_2 = T$.

Для азота: $p V_1 = \frac{m_1}{M_1} R T$

Для гелия: $p V_2 = \frac{m_2}{M_2} R T$

Чтобы найти неизвестную массу $m_1$, разделим первое уравнение на второе:

$\frac{p V_1}{p V_2} = \frac{\frac{m_1}{M_1} R T}{\frac{m_2}{M_2} R T}$

Сократим одинаковые множители ($p, R, T$) в левой и правой частях уравнения:

$\frac{V_1}{V_2} = \frac{m_1 / M_1}{m_2 / M_2} = \frac{m_1 M_2}{m_2 M_1}$

Из этого соотношения выразим массу азота $m_1$:

$m_1 = m_2 \cdot \frac{V_1}{V_2} \cdot \frac{M_1}{M_2}$

Молярная масса азота (двухатомный газ $N_2$) составляет $M_1 \approx 2 \cdot 14 = 28$ г/моль.

Молярная масса гелия (одноатомный газ $He$) составляет $M_2 \approx 4$ г/моль.

Подставим известные значения в формулу. Для удобства расчетов можно использовать внесистемные единицы (литры и граммы), так как в формулу входят отношения величин.

$m_1 = 12 \text{ г} \cdot \frac{4,0 \text{ л}}{8,0 \text{ л}} \cdot \frac{28 \text{ г/моль}}{4 \text{ г/моль}} = 12 \cdot \frac{1}{2} \cdot 7 = 6 \cdot 7 = 42 \text{ г}$

Ответ: масса азота равна 42 г.