Номер 127, страница 26 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

127. Вертикальный цилиндрический сосуд с гелием, закрытый сверху легкоподвижным поршнем массой $m_1 = 12$ кг, находится в воздухе, давление которого $p_0 = 1 \cdot 10^5$ Па. Масса гелия $m_2 = 8$ г. При охлаждении гелия на $|\Delta T| = 6$ К его объем уменьшился на $|\Delta V| = 830 \text{ см}^3$. Определите площадь поперечного сечения поршня.

Дано:

$m_1 = 12$ кг
$p_0 = 1 \cdot 10^5$ Па
$m_2 = 8$ г
$|\Delta T| = 6$ К
$|\Delta V| = 830$ см³
$M_{He} = 4$ г/моль
$R \approx 8.31$ Дж/(моль·К)
$g \approx 9.8$ м/с²

$m_2 = 8 \cdot 10^{-3}$ кг
$|\Delta V| = 830 \text{ см}^3 = 830 \cdot (10^{-2} \text{ м})^3 = 830 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3 = 8.3 \cdot 10^{-4} \text{ м}^3$
$M_{He} = 4 \cdot 10^{-3}$ кг/моль

Найти:

$S$ - ?

Решение:

Поскольку поршень легкоподвижный, он находится в равновесии, а значит процесс охлаждения гелия происходит при постоянном давлении (изобарный процесс). Давление гелия $p$ в сосуде складывается из атмосферного давления $p_0$ и давления, которое оказывает поршень своей массой $m_1$.

Запишем условие равновесия сил, действующих на поршень. Сила давления газа $pS$ уравновешивает силу атмосферного давления $p_0S$ и силу тяжести поршня $m_1g$:

$pS = p_0S + m_1g$

Отсюда выразим давление гелия:

$p = p_0 + \frac{m_1g}{S}$

Процесс охлаждения идеального газа при постоянном давлении описывается уравнением Клапейрона-Менделеева, записанным для изменения состояния:

$p(V_1 - V_2) = \nu R(T_1 - T_2)$

где $V_1, T_1$ — начальные объем и температура, $V_2, T_2$ — конечные, $\nu$ — количество вещества газа, $R$ — универсальная газовая постоянная.

Из условия задачи, уменьшение объема $|\Delta V| = V_1 - V_2$ и уменьшение температуры $|\Delta T| = T_1 - T_2$. Количество вещества гелия $\nu$ равно отношению его массы $m_2$ к молярной массе $M$:

$\nu = \frac{m_2}{M}$

Подставим эти выражения в уравнение состояния:

$p|\Delta V| = \frac{m_2}{M} R |\Delta T|$

Теперь подставим в это уравнение ранее полученное выражение для давления $p$:

$(p_0 + \frac{m_1g}{S})|\Delta V| = \frac{m_2}{M} R |\Delta T|$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение, чтобы выразить искомую площадь поперечного сечения поршня $S$:

$p_0|\Delta V| + \frac{m_1g|\Delta V|}{S} = \frac{m_2R|\Delta T|}{M}$

$\frac{m_1g|\Delta V|}{S} = \frac{m_2R|\Delta T|}{M} - p_0|\Delta V|$

$S = \frac{m_1g|\Delta V|}{\frac{m_2R|\Delta T|}{M} - p_0|\Delta V|}$

Подставим числовые значения в системе СИ и произведем вычисления:

$\frac{m_2R|\Delta T|}{M} = \frac{8 \cdot 10^{-3} \text{ кг} \cdot 8.31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot\text{К}} \cdot 6 \text{ К}}{4 \cdot 10^{-3} \frac{\text{кг}}{\text{моль}}} = 2 \cdot 8.31 \cdot 6 \text{ Дж} = 99.72 \text{ Дж}$

$p_0|\Delta V| = 1 \cdot 10^5 \text{ Па} \cdot 8.3 \cdot 10^{-4} \text{ м}^3 = 83 \text{ Дж}$

$m_1g|\Delta V| = 12 \text{ кг} \cdot 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 8.3 \cdot 10^{-4} \text{ м}^3 \approx 0.0976 \text{ Н} \cdot \text{м}^3$

$S = \frac{0.0976 \text{ Н} \cdot \text{м}^3}{99.72 \text{ Дж} - 83 \text{ Дж}} = \frac{0.0976 \text{ Н} \cdot \text{м}^3}{16.72 \text{ Дж}} = \frac{0.0976 \text{ Н} \cdot \text{м}^3}{16.72 \text{ Н} \cdot \text{м}} \approx 0.00584 \text{ м}^2$

Переведем результат в квадратные сантиметры для удобства:

$S \approx 0.00584 \text{ м}^2 = 0.00584 \cdot 10^4 \text{ см}^2 = 58.4 \text{ см}^2$

Округлим результат до двух значащих цифр, в соответствии с точностью большинства исходных данных:

$S \approx 58 \text{ см}^2$

Ответ: площадь поперечного сечения поршня приблизительно равна $58 \text{ см}^2$.