Номер 120, страница 25 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

120. Плотность идеального газа при температуре $t_1 = 10 \text{ °C}$ и давлении $p_1 = 2,0 \cdot 10^5 \text{ Па}$ составляет $\rho_1 = 3,7 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$. Определите массу этого газа, если при температуре $t_2 = 280 \text{ °C}$ и давлении $p_2 = 3,2 \cdot 10^5 \text{ Па}$ он занимает объем $V_2 = 25 \text{ дм}^3$.

Дано:

$t_1 = 10°C$

$p_1 = 2,0 \cdot 10^5 \, \text{Па}$

$\rho_1 = 3,7 \, \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

$t_2 = 280°C$

$p_2 = 3,2 \cdot 10^5 \, \text{Па}$

$V_2 = 25 \, \text{дм}^3$

Перевод в систему СИ:

$T_1 = 10 + 273 = 283 \, \text{К}$

$T_2 = 280 + 273 = 553 \, \text{К}$

$V_2 = 25 \, \text{дм}^3 = 25 \cdot 10^{-3} \, \text{м}^3 = 0,025 \, \text{м}^3$

Найти:

$m$ - ?

Решение:

Запишем уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона) для двух состояний газа:

$p_1 V_1 = \frac{m}{M} R T_1$

$p_2 V_2 = \frac{m}{M} R T_2$

где $m$ – масса газа, $M$ – его молярная масса, $R$ – универсальная газовая постоянная.

Плотность газа в первом состоянии определяется как $\rho_1 = \frac{m}{V_1}$, откуда объем в первом состоянии $V_1 = \frac{m}{\rho_1}$.

Подставим выражение для $V_1$ в уравнение состояния для первого состояния:

$p_1 \frac{m}{\rho_1} = \frac{m}{M} R T_1$

Масса газа $m$ в левой и правой частях уравнения сокращается, что позволяет нам выразить отношение $\frac{R}{M}$ (удельная газовая постоянная) через параметры первого состояния:

$\frac{p_1}{\rho_1} = \frac{R T_1}{M}$

Отсюда: $\frac{R}{M} = \frac{p_1}{\rho_1 T_1}$

Теперь из уравнения состояния для второго состояния выразим массу газа $m$:

$m = \frac{p_2 V_2 M}{R T_2} = \frac{p_2 V_2}{T_2} \cdot \frac{M}{R}$

Подставим в это выражение найденное отношение $\frac{M}{R} = \frac{\rho_1 T_1}{p_1}$:

$m = \frac{p_2 V_2}{T_2} \cdot \frac{\rho_1 T_1}{p_1} = \frac{p_2 V_2 \rho_1 T_1}{p_1 T_2}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$m = \frac{3,2 \cdot 10^5 \, \text{Па} \cdot 0,025 \, \text{м}^3 \cdot 3,7 \, \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 283 \, \text{К}}{2,0 \cdot 10^5 \, \text{Па} \cdot 553 \, \text{К}}$

$m = \frac{3,2 \cdot 0,025 \cdot 3,7 \cdot 283}{2,0 \cdot 553} \approx \frac{83,768}{1106} \approx 0,0757 \, \text{кг}$

Округляя до двух значащих цифр, получаем:

$m \approx 0,076 \, \text{кг}$

Ответ: $m \approx 0,076 \, \text{кг}$ или $76 \, \text{г}$.