Номер 116, страница 25 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

116. Идеальный газ, масса которого $m_1 = 7,0 \text{ г}$, находится в баллоне при температуре $T_1 = 300 \text{ К}$ и давлении $p_1 = 50 \text{ кПа}$. Определите молярную массу этого газа, если известно, что водород массой $m_2 = 4,0 \text{ г}$, находясь при температуре $T_2 = 330 \text{ К}$ в таком же баллоне, создает давление $p_2 = 440 \text{ кПа}$.

Дано

Для неизвестного газа (состояние 1):

Масса $m_1 = 7,0$ г = $7,0 \cdot 10^{-3}$ кг

Температура $T_1 = 300$ К

Давление $p_1 = 50$ кПа = $50 \cdot 10^3$ Па

Для водорода $H_2$ (состояние 2):

Масса $m_2 = 4,0$ г = $4,0 \cdot 10^{-3}$ кг

Температура $T_2 = 330$ К

Давление $p_2 = 440$ кПа = $440 \cdot 10^3$ Па

Молярная масса водорода $M_2 = 2$ г/моль = $2 \cdot 10^{-3}$ кг/моль

Найти:

$M_1$ — молярную массу неизвестного газа.

Решение

Для решения задачи воспользуемся уравнением состояния идеального газа (уравнением Менделеева-Клапейрона):

$pV = \frac{m}{M}RT$

где $p$ — давление, $V$ — объём, $m$ — масса газа, $M$ — молярная масса газа, $R$ — универсальная газовая постоянная, $T$ — абсолютная температура.

Запишем это уравнение для двух состояний, описанных в задаче.

1. Для неизвестного газа:

$p_1 V = \frac{m_1}{M_1}RT_1$

2. Для водорода:

$p_2 V = \frac{m_2}{M_2}RT_2$

По условию, оба газа находятся в одном и том же баллоне, следовательно, их объёмы $V$ одинаковы. Выразим объём из каждого уравнения:

$V = \frac{m_1 R T_1}{p_1 M_1}$

$V = \frac{m_2 R T_2}{p_2 M_2}$

Так как левые части уравнений равны, приравняем и правые части:

$\frac{m_1 R T_1}{p_1 M_1} = \frac{m_2 R T_2}{p_2 M_2}$

Сократим универсальную газовую постоянную $R$:

$\frac{m_1 T_1}{p_1 M_1} = \frac{m_2 T_2}{p_2 M_2}$

Из этого соотношения выразим искомую молярную массу $M_1$:

$M_1 = \frac{m_1 T_1 p_2 M_2}{m_2 T_2 p_1}$

Теперь подставим числовые значения в полученную формулу. Расчет можно производить, не переводя все величины в СИ, так как отношения давлений ($p_2/p_1$) и масс ($m_1/m_2$) являются безразмерными величинами.

$M_1 = \frac{7,0 \text{ г} \cdot 300 \text{ К} \cdot 440 \text{ кПа} \cdot 2,0 \text{ г/моль}}{4,0 \text{ г} \cdot 330 \text{ К} \cdot 50 \text{ кПа}}$

Выполним вычисления:

$M_1 = \frac{7 \cdot 300 \cdot 440 \cdot 2}{4 \cdot 330 \cdot 50} \text{ г/моль} = \frac{1848000}{66000} \text{ г/моль} = 28 \text{ г/моль}$

Таким образом, молярная масса неизвестного газа составляет 28 г/моль. Это значение соответствует, например, молярной массе азота ($N_2$).

В системе СИ молярная масса будет равна $28 \cdot 10^{-3}$ кг/моль.

Ответ: молярная масса неизвестного газа равна $28$ г/моль.