Номер 119, страница 25 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

119. Определите плотность воздуха, находящегося в сосуде при давлении $p=3,8 \cdot 10^4 \text{ Па}$ и температуре $t=47^\circ \text{C}$, если при нормальных условиях ($t_0=0^\circ \text{C}$, $p_0=1,0 \cdot 10^5 \text{ Па}$) плотность такой же массы воздуха $\rho_0=1,29 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$.

Дано:

$p = 3,8 \cdot 10^4$ Па

$t = 47$ °C

$p_0 = 1,0 \cdot 10^5$ Па

$t_0 = 0$ °C

$\rho_0 = 1,29$ кг/м³

Переведем температуру в систему СИ (Кельвины):

Для перевода температуры из градусов Цельсия в Кельвины используется формула $T(К) = t(^\circ\text{C}) + 273$.

Абсолютная температура воздуха в сосуде:

$T = 47 + 273 = 320$ К

Абсолютная температура воздуха при нормальных условиях:

$T_0 = 0 + 273 = 273$ К

Найти:

$\rho$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся объединенным газовым законом для постоянной массы газа, который связывает давление, объем и температуру газа в двух состояниях:

$\frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2}$

В нашем случае, состояние 1 — это состояние воздуха в сосуде с параметрами $p, V, T$, а состояние 2 — это нормальные условия с параметрами $p_0, V_0, T_0$. Таким образом, уравнение принимает вид:

$\frac{pV}{T} = \frac{p_0V_0}{T_0}$

Плотность газа определяется по формуле $\rho = \frac{m}{V}$, где $m$ — масса газа, а $V$ — его объем. Отсюда объем можно выразить как $V = \frac{m}{\rho}$. Так как масса воздуха в обоих состояниях одинакова, мы можем подставить это выражение в объединенный газовый закон:

$\frac{p(m/\rho)}{T} = \frac{p_0(m/\rho_0)}{T_0}$

Сократив массу $m$ в обеих частях уравнения, получим соотношение, связывающее давление, плотность и температуру газа в двух состояниях:

$\frac{p}{\rho T} = \frac{p_0}{\rho_0 T_0}$

Из этого соотношения выразим искомую плотность $\rho$:

$\rho = \rho_0 \cdot \frac{p}{p_0} \cdot \frac{T_0}{T}$

Теперь подставим числовые значения в полученную формулу:

$\rho = 1,29 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot \frac{3,8 \cdot 10^4 \text{ Па}}{1,0 \cdot 10^5 \text{ Па}} \cdot \frac{273 \text{ К}}{320 \text{ К}}$

Выполним вычисления:

$\rho = 1,29 \cdot 0,38 \cdot \frac{273}{320} \approx 0,4182$ кг/м³

С учетом точности исходных данных (наименьшее число значащих цифр равно двум у величин $p$, $p_0$ и $t$), результат следует округлить до двух значащих цифр.

$\rho \approx 0,42$ кг/м³

Ответ: плотность воздуха в сосуде $\rho \approx 0,42 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$.