Номер 126, страница 26 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

126.. В вертикальном цилиндре, площадь основания которого $S = 100 \text{ см}^2$, находится воздух при температуре $t_1 = 27^\circ \text{C}$. На высоте $h = 60 \text{ см}$ от основания цилиндра находится гладкий подвижный поршень массой $m_0 = 10 \text{ кг}$. На сколько опустится поршень, если на него положить груз массой $m = 10 \text{ кг}$, а воздух в цилиндре охладить до $t_2 = 10^\circ \text{C}$? Атмосферное давление $p_0 = 100 \text{ кПа}$.

Дано:
Площадь основания цилиндра: $S = 100 \text{ см}^2$
Начальная температура воздуха: $t_1 = 27^\circ\text{C}$
Начальная высота поршня: $h_1 = 60 \text{ см}$
Масса поршня: $m_0 = 10 \text{ кг}$
Масса груза: $m = 10 \text{ кг}$
Конечная температура воздуха: $t_2 = 10^\circ\text{C}$
Атмосферное давление: $p_0 = 100 \text{ кПа}$

Перевод в систему СИ:
$S = 100 \text{ см}^2 = 100 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 100 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 0.01 \text{ м}^2$
$T_1 = 27 + 273 = 300 \text{ К}$
$h_1 = 60 \text{ см} = 0.6 \text{ м}$
$T_2 = 10 + 273 = 283 \text{ К}$
$p_0 = 100 \text{ кПа} = 100 \cdot 10^3 \text{ Па} = 10^5 \text{ Па}$

Найти:
На сколько опустится поршень, $\Delta h$.

Решение:
Состояние воздуха в цилиндре меняется, но его масса (количество вещества) остается постоянной. Поэтому для описания процесса можно использовать объединенный газовый закон (уравнение Клапейрона):$\frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2}$
Здесь $p$, $V$ и $T$ — это давление, объем и абсолютная температура воздуха, а индексы 1 и 2 относятся к начальному и конечному состояниям системы соответственно.

1. Начальное состояние (индекс 1).
Поршень находится в равновесии. Это означает, что сила давления газа изнутри $p_1 S$ уравновешивает сумму сил, действующих на поршень снаружи: силу атмосферного давления $p_0 S$ и силу тяжести поршня $m_0 g$.$p_1 S = p_0 S + m_0 g$
Отсюда находим давление воздуха в начальном состоянии:$p_1 = p_0 + \frac{m_0 g}{S}$
Начальный объем воздуха: $V_1 = S h_1$.

2. Конечное состояние (индекс 2).
На поршень положили груз, и воздух охладили. Поршень установился на новой высоте $h_2$. В новом положении равновесия сила давления газа изнутри $p_2 S$ уравновешивает силу атмосферного давления, силу тяжести поршня и силу тяжести груза:$p_2 S = p_0 S + m_0 g + m g = p_0 S + (m_0+m)g$
Давление воздуха в конечном состоянии:$p_2 = p_0 + \frac{(m_0 + m)g}{S}$
Конечный объем воздуха: $V_2 = S h_2$.

3. Расчет конечной высоты поршня.
Подставим полученные выражения для давлений и объемов в объединенный газовый закон:$\frac{(p_0 + \frac{m_0 g}{S}) S h_1}{T_1} = \frac{(p_0 + \frac{(m_0 + m)g}{S}) S h_2}{T_2}$
Площадь $S$ в числителях можно сократить. Выразим отсюда конечную высоту $h_2$:$h_2 = h_1 \cdot \frac{T_2}{T_1} \cdot \frac{p_1}{p_2} = h_1 \cdot \frac{T_2}{T_1} \cdot \frac{p_0 + \frac{m_0 g}{S}}{p_0 + \frac{(m_0 + m)g}{S}}$

4. Вычисления.
Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$.
Рассчитаем давления $p_1$ и $p_2$:
$p_1 = 10^5 \text{ Па} + \frac{10 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2}{0.01 \text{ м}^2} = 100000 + 10000 = 110000 \text{ Па}$
$p_2 = 10^5 \text{ Па} + \frac{(10 \text{ кг} + 10 \text{ кг}) \cdot 10 \text{ м/с}^2}{0.01 \text{ м}^2} = 100000 + \frac{200}{0.01} = 100000 + 20000 = 120000 \text{ Па}$
Теперь найдем конечную высоту $h_2$:
$h_2 = 0.6 \text{ м} \cdot \frac{283 \text{ К}}{300 \text{ К}} \cdot \frac{110000 \text{ Па}}{120000 \text{ Па}} = 0.6 \cdot \frac{283}{300} \cdot \frac{11}{12} \approx 0.5188 \text{ м}$

5. Определение смещения поршня.
Смещение поршня $\Delta h$ равно разности начальной и конечной высот:$\Delta h = h_1 - h_2 = 0.6 \text{ м} - 0.5188 \text{ м} = 0.0812 \text{ м}$
Переведем результат в сантиметры:$\Delta h = 0.0812 \cdot 100 \text{ см} \approx 8.1 \text{ см}$.

Ответ: поршень опустится на 8,1 см.