Номер 129, страница 27 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

129. Горизонтально расположенный закрытый цилиндрический сосуд с гладкими стенками разделен тонким подвижным теплопроводящим поршнем на две части, в которых находятся идеальные газы равной массы: в одной части содержится гелий, в другой — азот. Определите длину части сосуда, занимаемую гелием, если длина всего сосуда $L = 32$ см.

Дано:

$L = 32 \text{ см}$

$m_{He} = m_{N_2} = m$

$M_{He} = 4 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}$ (молярная масса гелия)

$M_{N_2} = 28 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}$ (молярная масса азота)

$L = 0,32 \text{ м}$

Найти:

$l_{He}$ - ?

Решение:

Так как сосуд расположен горизонтально, а поршень подвижный и гладкий, он будет находиться в равновесии, когда давления газов по обе стороны от него станут одинаковыми. Обозначим это давление как $P$.

$P_{He} = P_{N_2} = P$

Поршень является теплопроводящим, следовательно, со временем температуры газов в обеих частях сосуда выровняются и станут одинаковыми. Обозначим эту температуру как $T$.

$T_{He} = T_{N_2} = T$

Запишем уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона) для гелия и азота:

$P_{He}V_{He} = \frac{m_{He}}{M_{He}}RT_{He}$

$P_{N_2}V_{N_2} = \frac{m_{N_2}}{M_{N_2}}RT_{N_2}$

Учитывая условия равновесия ($P_{He}=P_{N_2}=P$, $T_{He}=T_{N_2}=T$) и равенство масс газов ($m_{He}=m_{N_2}=m$), получим систему уравнений:

$PV_{He} = \frac{m}{M_{He}}RT$

$PV_{N_2} = \frac{m}{M_{N_2}}RT$

Разделим первое уравнение на второе:

$\frac{PV_{He}}{PV_{N_2}} = \frac{\frac{m}{M_{He}}RT}{\frac{m}{M_{N_2}}RT}$

После сокращения одинаковых величин ($P, m, R, T$) получаем соотношение объемов:

$\frac{V_{He}}{V_{N_2}} = \frac{M_{N_2}}{M_{He}}$

Объем каждой части цилиндрического сосуда можно выразить через площадь поперечного сечения $S$ и длину соответствующей части ($l_{He}$ для гелия и $l_{N_2}$ для азота):

$V_{He} = S \cdot l_{He}$

$V_{N_2} = S \cdot l_{N_2}$

Подставим эти выражения в соотношение объемов:

$\frac{S \cdot l_{He}}{S \cdot l_{N_2}} = \frac{M_{N_2}}{M_{He}}$

$\frac{l_{He}}{l_{N_2}} = \frac{M_{N_2}}{M_{He}}$

Сумма длин частей сосуда равна его полной длине $L$:

$l_{He} + l_{N_2} = L$

Отсюда выразим длину части, занимаемой азотом: $l_{N_2} = L - l_{He}$. Подставим это выражение в соотношение длин:

$\frac{l_{He}}{L - l_{He}} = \frac{M_{N_2}}{M_{He}}$

Решим это уравнение относительно искомой величины $l_{He}$:

$l_{He} \cdot M_{He} = (L - l_{He}) \cdot M_{N_2}$

$l_{He} \cdot M_{He} = L \cdot M_{N_2} - l_{He} \cdot M_{N_2}$

$l_{He} \cdot M_{He} + l_{He} \cdot M_{N_2} = L \cdot M_{N_2}$

$l_{He}(M_{He} + M_{N_2}) = L \cdot M_{N_2}$

$l_{He} = L \frac{M_{N_2}}{M_{He} + M_{N_2}}$

Подставим числовые значения. Молярная масса гелия $M_{He} = 4 \text{ г/моль}$, молярная масса азота (молекула $N_2$) $M_{N_2} = 28 \text{ г/моль}$.

$l_{He} = 32 \text{ см} \cdot \frac{28 \text{ г/моль}}{4 \text{ г/моль} + 28 \text{ г/моль}} = 32 \text{ см} \cdot \frac{28}{32} = 28 \text{ см}$

Ответ: Длина части сосуда, занимаемая гелием, равна 28 см.