Номер 131, страница 27 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

131. Стеклянная цилиндрическая трубка, запаянная с одного конца, погружена вертикально открытым концом в широкий сосуд с ртутью (рис. 4). Уровень ртути в трубке расположен выше уровня ртути в сосуде на $\Delta h = 10$ см. В трубке над ртутью находится воздух, длина столба которого $h = 50$ см, при температуре $T_1 = 270$ К. Определите атмосферное давление, если при нагревании воздуха в трубке до температуры $T_2 = 375$ К уровни ртути в трубке и в сосуде сравнялись.

Рис. 4

Дано:

$\Delta h = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$
$h = 50 \text{ см} = 0.5 \text{ м}$
$T_1 = 270 \text{ К}$
$T_2 = 375 \text{ К}$
Плотность ртути $\rho = 13600 \text{ кг/м}^3$
Ускорение свободного падения $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Найти:

$p_a$

Решение:

Запишем параметры воздуха в трубке для двух состояний: начального (1) и конечного (2). Так как количество воздуха в запаянной трубке не изменяется, можно применить объединенный газовый закон:

$\frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2}$

В начальном состоянии (1):

Температура воздуха $T_1 = 270 \text{ К}$.

Длина столба воздуха в трубке $h_1 = h = 0.5 \text{ м}$. Объем воздуха $V_1 = S \cdot h_1$, где $S$ — площадь поперечного сечения трубки.

Уровень ртути в трубке выше уровня в сосуде на $\Delta h$. Это означает, что атмосферное давление $p_a$ уравновешивается давлением воздуха в трубке $p_1$ и гидростатическим давлением столба ртути высотой $\Delta h$.

$p_a = p_1 + \rho g \Delta h$

Отсюда давление воздуха в трубке:

$p_1 = p_a - \rho g \Delta h$

В конечном состоянии (2):

Температура воздуха $T_2 = 375 \text{ К}$.

Уровни ртути в трубке и в сосуде сравнялись. Следовательно, давление воздуха в трубке стало равно атмосферному давлению:

$p_2 = p_a$

Чтобы уровни сравнялись, уровень ртути в трубке опустился на $\Delta h$. Таким образом, длина столба воздуха увеличилась и стала равной:

$h_2 = h_1 + \Delta h = h + \Delta h$

Объем воздуха стал $V_2 = S \cdot h_2 = S \cdot (h + \Delta h)$.

Подставим полученные выражения в объединенный газовый закон:

$\frac{(p_a - \rho g \Delta h) \cdot (S \cdot h)}{T_1} = \frac{p_a \cdot (S \cdot (h + \Delta h))}{T_2}$

Площадь поперечного сечения $S$ сокращается:

$\frac{(p_a - \rho g \Delta h)h}{T_1} = \frac{p_a (h + \Delta h)}{T_2}$

Выразим из этого уравнения атмосферное давление $p_a$:

$T_2 h (p_a - \rho g \Delta h) = T_1 p_a (h + \Delta h)$

$p_a T_2 h - T_2 h \rho g \Delta h = p_a T_1 h + p_a T_1 \Delta h$

$p_a T_2 h - p_a T_1 h - p_a T_1 \Delta h = T_2 h \rho g \Delta h$

$p_a (T_2 h - T_1 (h + \Delta h)) = T_2 h \rho g \Delta h$

$p_a = \frac{T_2 h \rho g \Delta h}{T_2 h - T_1 (h + \Delta h)}$

Произведем вычисления:

$p_a = \frac{375 \text{ К} \cdot 0.5 \text{ м} \cdot 13600 \text{ кг/м}^3 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot 0.1 \text{ м}}{375 \text{ К} \cdot 0.5 \text{ м} - 270 \text{ К} \cdot (0.5 \text{ м} + 0.1 \text{ м})}$

$p_a = \frac{2499000}{187.5 - 270 \cdot 0.6} = \frac{2499000}{187.5 - 162} = \frac{2499000}{25.5} \approx 98000 \text{ Па}$

Ответ: атмосферное давление равно приблизительно $98000 \text{ Па}$ или $98 \text{ кПа}$.