Номер 132, страница 27 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

132. Стеклянная цилиндрическая трубка, запаянная с одного конца, погружена вертикально открытым концом в широкий сосуд с ртутью. Уровень ртути в трубке находится ниже уровня ртути в сосуде на $\Delta h = 10$ см. В трубке над ртутью содержится идеальный газ при температуре $t_1 = 82$ °С. Длина трубки, находящейся в воздухе, $l = 1,0$ м. До какой температуры необходимо охладить газ в трубке, чтобы уровни ртути в трубке и в сосуде сравнялись? Атмосферное давление $p_0 = 100$ кПа.

Дано:

$\Delta h = 10$ см

$t_1 = 82$ °C

$l = 1,0$ м

$p_0 = 100$ кПа

$\rho_{Hg} \approx 13600$ кг/м³ (плотность ртути)

$g \approx 9,8$ м/с² (ускорение свободного падения)

Перевод в систему СИ:

$\Delta h = 0,1$ м

$T_1 = 82 + 273 = 355$ К

$l = 1,0$ м

$p_0 = 100 \cdot 10^3$ Па $= 10^5$ Па

Найти:

$t_2$

Решение:

Процесс охлаждения идеального газа в трубке при постоянном его количестве описывается объединенным газовым законом (уравнением Клапейрона):

$\frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2}$

где $p_1$, $V_1$, $T_1$ – давление, объем и абсолютная температура газа в начальном состоянии, а $p_2$, $V_2$, $T_2$ – те же параметры в конечном состоянии.

Рассмотрим начальное состояние (состояние 1).

Уровень ртути в трубке находится ниже уровня в сосуде на $\Delta h$. Это означает, что давление газа $p_1$ в трубке уравновешивает атмосферное давление $p_0$ и гидростатическое давление столба ртути высотой $\Delta h$. Таким образом, давление газа в трубке выше атмосферного:

$p_1 = p_0 + \rho_{Hg} g \Delta h$

Объем газа в начальном состоянии $V_1$ пропорционален длине столба газа $l_1 = l$. Если $S$ – площадь поперечного сечения трубки, то $V_1 = S \cdot l$.

Начальная температура газа $T_1$.

Рассмотрим конечное состояние (состояние 2).

После охлаждения газа уровни ртути в трубке и в сосуде сравнялись. Это означает, что давление газа $p_2$ в трубке стало равным атмосферному давлению:

$p_2 = p_0$

Для того чтобы уровни сравнялись, уровень ртути в трубке должен был подняться на величину $\Delta h$. Следовательно, длина столба газа уменьшилась на эту же величину. Новая длина столбика газа составляет $l_2 = l - \Delta h$.

Объем газа в конечном состоянии $V_2 = S \cdot l_2 = S \cdot (l - \Delta h)$.

Искомая конечная температура газа – $T_2$.

Подставим выражения для давлений и объемов в объединенный газовый закон:

$\frac{(p_0 + \rho_{Hg} g \Delta h) \cdot S \cdot l}{T_1} = \frac{p_0 \cdot S \cdot (l - \Delta h)}{T_2}$

Площадь поперечного сечения $S$ в левой и правой частях уравнения сокращается. Выразим искомую температуру $T_2$:

$T_2 = T_1 \cdot \frac{p_0 \cdot (l - \Delta h)}{(p_0 + \rho_{Hg} g \Delta h) \cdot l}$

Произведем вычисления. Сначала найдем давление газа в начальном состоянии:

$p_1 = 10^5 \text{ Па} + 13600 \text{ кг/м³} \cdot 9,8 \text{ м/с²} \cdot 0,1 \text{ м} = 100000 + 13328 = 113328$ Па.

Теперь подставим все числовые значения в формулу для $T_2$:

$T_2 = 355 \text{ К} \cdot \frac{10^5 \text{ Па} \cdot (1,0 \text{ м} - 0,1 \text{ м})}{113328 \text{ Па} \cdot 1,0 \text{ м}} = 355 \cdot \frac{100000 \cdot 0,9}{113328} = 355 \cdot \frac{90000}{113328} \approx 281,92$ К.

Чтобы найти температуру в градусах Цельсия, вычтем 273 из значения в Кельвинах:

$t_2 = T_2 - 273 = 281,92 - 273 = 8,92$ °C.

С учетом точности исходных данных, округлим результат до десятых.

Ответ: газ в трубке необходимо охладить до температуры 8,9 °C.