Номер 133, страница 28 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

133. В горизонтально расположенной цилиндрической трубке, запаянной с одного конца, находится идеальный газ, запертый столбиком ртути. Абсолютная температура газа в трубке $T = 310 \text{ К}$. Длина столбика ртути $l = 10 \text{ см}$. Атмосферное давление $p_0 = 1,0 \cdot 10^5 \text{ Па}$. Трубку разгоняют с постоянным ускорением, модуль которого $a = 9,5 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$, в направлении ее оси сначала в сторону запаянного конца, а затем в противоположную сторону. Во сколько раз различается объем газа в трубке при ее ускорениях, если температура газа понижается на $|\Delta t| = 10 \text{ °С}$ (в первом случае) и повышается на $\Delta t = 10 \text{ °С}$ (во втором случае)? Ртуть из трубки не выливается.

Дано:

$T = 310$ К
$l = 10$ см = $0,1$ м
$p_0 = 1,0 \cdot 10^5$ Па
$a = 9,5$ м/с²
$|\Delta t| = 10$ °C, что соответствует изменению абсолютной температуры $|\Delta T| = 10$ К
Плотность ртути (справочное значение): $\rho_{Hg} = 13600$ кг/м³

Найти:

$\frac{V_1}{V_2}$ - отношение объемов газа в первом и втором случаях.

Решение:

Поскольку количество газа в трубке не меняется, для него будет выполняться объединенный газовый закон: $\frac{pV}{T} = const$.

Рассмотрим два случая ускорения трубки.

1. Трубка ускоряется в сторону запаянного конца.

Пусть $S$ - площадь поперечного сечения трубки. На столбик ртути действуют две силы в горизонтальном направлении: сила давления со стороны газа $F_1 = p_1 S$ (направлена от запаянного конца) и сила атмосферного давления $F_0 = p_0 S$ (направлена к запаянному концу). Ускорение $a$ направлено к запаянному концу.

Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая сил равна произведению массы столбика ртути $m_{Hg}$ на его ускорение:

$F_0 - F_1 = m_{Hg} a$

$p_0 S - p_1 S = m_{Hg} a$

Масса столбика ртути $m_{Hg} = \rho_{Hg} V_{Hg} = \rho_{Hg} l S$. Подставим это выражение в уравнение:

$(p_0 - p_1) S = (\rho_{Hg} l S) a$

Сократив на $S$, получим давление газа в первом случае:

$p_1 = p_0 - \rho_{Hg} l a$

Температура газа в этом случае понижается на $|\Delta T|$, значит $T_1 = T - |\Delta T| = 310 - 10 = 300$ К. Объем газа равен $V_1$.

2. Трубка ускоряется в противоположную сторону (от запаянного конца).

В этом случае ускорение $a$ направлено от запаянного конца. Сила давления газа $F_2 = p_2 S$ будет больше силы атмосферного давления $F_0 = p_0 S$, чтобы обеспечить ускорение в этом направлении. Второй закон Ньютона запишется так:

$F_2 - F_0 = m_{Hg} a$

$p_2 S - p_0 S = (\rho_{Hg} l S) a$

Отсюда давление газа во втором случае:

$p_2 = p_0 + \rho_{Hg} l a$

Температура газа в этом случае повышается на $\Delta T$, значит $T_2 = T + \Delta T = 310 + 10 = 320$ К. Объем газа равен $V_2$.

Нахождение отношения объемов.

Запишем объединенный газовый закон для двух этих состояний:

$\frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2}$

Отсюда найдем искомое отношение объемов:

$\frac{V_1}{V_2} = \frac{p_2}{p_1} \cdot \frac{T_1}{T_2}$

Подставим выражения для давлений $p_1$ и $p_2$:

$\frac{V_1}{V_2} = \frac{p_0 + \rho_{Hg} l a}{p_0 - \rho_{Hg} l a} \cdot \frac{T_1}{T_2}$

Выполним расчеты. Сначала найдем величину $\rho_{Hg} l a$:

$\rho_{Hg} l a = 13600 \frac{кг}{м^3} \cdot 0,1 \text{ м} \cdot 9,5 \frac{м}{с^2} = 12920$ Па.

Теперь подставим все числовые значения в формулу для отношения объемов:

$\frac{V_1}{V_2} = \frac{1,0 \cdot 10^5 \text{ Па} + 12920 \text{ Па}}{1,0 \cdot 10^5 \text{ Па} - 12920 \text{ Па}} \cdot \frac{300 \text{ К}}{320 \text{ К}} = \frac{112920}{87080} \cdot \frac{30}{32} \approx 1,2967 \cdot 0,9375 \approx 1,2156$

Округляя результат до двух значащих цифр (в соответствии с точностью исходных данных $l$, $p_0$, $a$), получаем:

$\frac{V_1}{V_2} \approx 1,2$

Это означает, что объем газа в первом случае (при ускорении к запаянному концу) больше, чем во втором.

Ответ: Объемы газа различаются в 1,2 раза.