Номер 134, страница 28 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

134. Баллон содержит сжатый идеальный газ при температуре $t_1 = 47°C$ и давлении $p_1 = 200 \text{ кПа}$. Определите, каким станет давление газа в баллоне, когда из него выйдет $\alpha = 68 \,\%$ молекул газа, а температура понизится до $t_2 = 17°C$.

Дано:

$t_1 = 47 \text{°C}$

$p_1 = 200 \text{ кПа}$

$\alpha = 68 \% = 0.68$

$t_2 = 17 \text{°C}$

Перевод в систему СИ:
$T_1 = t_1 + 273 = 47 + 273 = 320 \text{ К}$
$T_2 = t_2 + 273 = 17 + 273 = 290 \text{ К}$
$p_1 = 200 \text{ кПа} = 200 \times 10^3 \text{ Па}$

Найти:

$p_2$

Решение:

Состояние идеального газа описывается уравнением состояния (уравнением Менделеева-Клапейрона), которое можно записать в форме $pV = NkT$, где $p$ — давление газа, $V$ — его объем, $N$ — число молекул, $k$ — постоянная Больцмана, $T$ — абсолютная температура.

Запишем это уравнение для двух состояний газа в баллоне. Поскольку газ находится в баллоне, его объем $V$ остается неизменным.

Для начального состояния (до утечки газа):
$p_1V = N_1kT_1$ (1)

Для конечного состояния (после утечки газа и изменения температуры):
$p_2V = N_2kT_2$ (2)

Из условия известно, что из баллона вышло $\alpha = 68\%$ молекул. Это значит, что количество молекул, оставшихся в баллоне, составляет $100\% - 68\% = 32\%$ от первоначального количества. Связь между конечным ($N_2$) и начальным ($N_1$) числом молекул можно выразить так:
$N_2 = N_1 - \alpha N_1 = N_1(1 - \alpha)$

Чтобы найти связь между параметрами двух состояний, разделим уравнение (2) на уравнение (1):
$\frac{p_2V}{p_1V} = \frac{N_2kT_2}{N_1kT_1}$

Объем $V$ и постоянная Больцмана $k$ сокращаются:
$\frac{p_2}{p_1} = \frac{N_2T_2}{N_1T_1}$

Теперь подставим выражение для $N_2$ в полученное соотношение:
$\frac{p_2}{p_1} = \frac{N_1(1 - \alpha)T_2}{N_1T_1}$

Сократив $N_1$, получим формулу для расчета конечного давления $p_2$:
$p_2 = p_1 \frac{(1 - \alpha)T_2}{T_1}$

Подставим числовые значения в эту формулу, используя абсолютные температуры:
$1 - \alpha = 1 - 0.68 = 0.32$
$p_2 = 200 \text{ кПа} \cdot \frac{0.32 \cdot 290 \text{ К}}{320 \text{ К}} = 200 \cdot \frac{92.8}{320} = 200 \cdot 0.29 = 58 \text{ кПа}$

Ответ: давление газа в баллоне станет равным $58 \text{ кПа}$.