Номер 141, страница 29 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

141. В сосуде находился идеальный газ, давление которого $p_1 = 2,0$ МПа и температура $t_1 = 27^\circ\text{C}$. Температуру газа увеличили на $\Delta t = 30^\circ\text{C}$, а массу газа в сосуде уменьшили в $\alpha = 2,0$ раза. Определите давление газа, оставшегося в сосуде.

Дано:

$p_1 = 2,0$ МПа

$t_1 = 27$ °C

$\Delta t = 30$ °C

$\alpha = 2,0$

Перевод в систему СИ:
$p_1 = 2,0 \times 10^6$ Па
$T_1 = t_1 + 273 = 27 + 273 = 300$ К
$\Delta T = \Delta t = 30$ К

Найти:

$p_2$

Решение:

Состояние идеального газа описывается уравнением Менделеева-Клапейрона:

$pV = \frac{m}{M}RT$

где $p$ – давление, $V$ – объем, $m$ – масса газа, $M$ – молярная масса газа, $R$ – универсальная газовая постоянная, $T$ – абсолютная температура.

Запишем это уравнение для начального состояния газа (индекс 1) и конечного (индекс 2). Так как газ находится в закрытом сосуде, его объем $V$ не изменяется ($V_1 = V_2 = V$).

Для начального состояния:
$p_1V = \frac{m_1}{M}RT_1$ (1)

Для конечного состояния:
$p_2V = \frac{m_2}{M}RT_2$ (2)

По условию задачи, массу газа уменьшили в $\alpha$ раз, следовательно, $m_2 = \frac{m_1}{\alpha}$.

Начальная абсолютная температура газа:
$T_1 = t_1 + 273 = 27 + 273 = 300$ К

Температуру газа увеличили на $\Delta t = 30$ °C, что соответствует увеличению абсолютной температуры на $\Delta T = 30$ К. Конечная абсолютная температура:
$T_2 = T_1 + \Delta T = 300 + 30 = 330$ К

Разделим уравнение (2) на уравнение (1):
$\frac{p_2V}{p_1V} = \frac{\frac{m_2}{M}RT_2}{\frac{m_1}{M}RT_1}$

После сокращения одинаковых величин ($V, M, R$) получаем:
$\frac{p_2}{p_1} = \frac{m_2 T_2}{m_1 T_1}$

Подставим соотношение для масс $m_2 = \frac{m_1}{\alpha}$:
$\frac{p_2}{p_1} = \frac{(m_1/\alpha) T_2}{m_1 T_1} = \frac{T_2}{\alpha T_1}$

Выразим отсюда искомое давление $p_2$:
$p_2 = p_1 \frac{T_2}{\alpha T_1}$

Подставим числовые значения:
$p_2 = 2,0 \text{ МПа} \cdot \frac{330 \text{ К}}{2,0 \cdot 300 \text{ К}} = 1,1$ МПа

Ответ: давление газа, оставшегося в сосуде, равно $1,1$ МПа.