Номер 139, страница 29 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

139. В баллоне вместимостью $V = 50$ л при температуре $T_1 = 280$ К находился кислород массой $m_1 = 1,6$ кг. В баллон добавили $\Delta m = 400$ г кислорода и увеличили его температуру до $T_2 = 304$ К. Определите, на сколько увеличилось давление газа в баллоне.

Дано:

Вместимость баллона $V = 50$ л $= 50 \cdot 10^{-3}$ м$^3$

Начальная температура $T_1 = 280$ К

Начальная масса кислорода $m_1 = 1,6$ кг

Добавленная масса кислорода $\Delta m = 400$ г $= 0,4$ кг

Конечная температура $T_2 = 304$ К

Молярная масса кислорода ($O_2$) $M = 32 \cdot 10^{-3}$ кг/моль

Универсальная газовая постоянная $R = 8,31$ Дж/(моль·К)

Найти:

Увеличение давления $\Delta p$.

Решение:

Состояние газа в баллоне описывается уравнением состояния идеального газа (уравнением Менделеева-Клапейрона):

$pV = \frac{m}{M}RT$

где $p$ – давление газа, $V$ – его объем, $m$ – масса, $M$ – молярная масса, $T$ – абсолютная температура, а $R$ – универсальная газовая постоянная.

Выразим из этого уравнения давление:

$p = \frac{mRT}{VM}$

Давление газа в начальном состоянии ($p_1$) было:

$p_1 = \frac{m_1RT_1}{VM}$

После добавления кислорода масса газа в баллоне стала равной:

$m_2 = m_1 + \Delta m = 1,6 \text{ кг} + 0,4 \text{ кг} = 2,0$ кг

Давление газа в конечном состоянии ($p_2$) стало:

$p_2 = \frac{m_2RT_2}{VM}$

Изменение давления $\Delta p$ равно разности конечного и начального давлений:

$\Delta p = p_2 - p_1 = \frac{m_2RT_2}{VM} - \frac{m_1RT_1}{VM} = \frac{R}{VM}(m_2T_2 - m_1T_1)$

Подставим числовые значения и произведем расчеты:

$\Delta p = \frac{8,31 \text{ Дж/(моль·К)}}{50 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 \cdot 32 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}} \cdot (2,0 \text{ кг} \cdot 304 \text{ К} - 1,6 \text{ кг} \cdot 280 \text{ К})$

$\Delta p = \frac{8,31}{1,6 \cdot 10^{-3}} \cdot (608 - 448) = \frac{8,31 \cdot 160}{1,6 \cdot 10^{-3}}$

$\Delta p = 8,31 \cdot 100 \cdot 10^3 \text{ Па} = 831000 \text{ Па} = 831$ кПа

Ответ: давление газа в баллоне увеличилось на $831$ кПа.