Номер 145, страница 30 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

145. В сосуде объемом $V = 10 \text{ л}$ находился гелий под давлением $p_1 = 3,7 \cdot 10^5 \text{ Па}$ при температуре $t_1 = 17^\circ \text{ С}$. В сосуд еще дополнительно закачали гелия, количество вещества которого $\Delta \nu = 2,5 \text{ моль}$, и нагрели газ в сосуде до температуры $t_2 = 27^\circ \text{ С}$. Определите конечное давление газа в сосуде.

Дано:

$V = 10 \text{ л} = 10 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 = 0,01 \text{ м}^3$

$p_1 = 3,7 \cdot 10^5 \text{ Па}$

$t_1 = 17 \text{ °C} \implies T_1 = 17 + 273 = 290 \text{ К}$

$\Delta\nu = 2,5 \text{ моль}$

$t_2 = 27 \text{ °C} \implies T_2 = 27 + 273 = 300 \text{ К}$

$R \approx 8,31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}}$ (универсальная газовая постоянная)

Найти:

$p_2$ - ?

Решение:

Для решения задачи воспользуемся уравнением состояния идеального газа (уравнением Менделеева-Клапейрона): $pV = \nu RT$.

Запишем это уравнение для начального состояния газа в сосуде:

$p_1V = \nu_1RT_1$

Отсюда можно выразить начальное количество вещества гелия $\nu_1$:

$\nu_1 = \frac{p_1V}{RT_1}$

После того как в сосуд добавили гелий, количество вещества стало равно:

$\nu_2 = \nu_1 + \Delta\nu$

Запишем уравнение состояния для конечного состояния газа при температуре $T_2$ и с количеством вещества $\nu_2$:

$p_2V = \nu_2RT_2$

Подставим в это уравнение выражение для $\nu_2$:

$p_2V = (\nu_1 + \Delta\nu)RT_2$

Теперь подставим выражение для начального количества вещества $\nu_1$:

$p_2V = \left(\frac{p_1V}{RT_1} + \Delta\nu\right)RT_2$

Выразим из этого уравнения конечное давление $p_2$, разделив обе части на объем $V$:

$p_2 = \frac{\left(\frac{p_1V}{RT_1} + \Delta\nu\right)RT_2}{V} = \frac{p_1V}{RT_1}\frac{RT_2}{V} + \frac{\Delta\nu RT_2}{V}$

После сокращения получаем итоговую формулу для расчета:

$p_2 = p_1 \frac{T_2}{T_1} + \frac{\Delta\nu RT_2}{V}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$p_2 = 3,7 \cdot 10^5 \text{ Па} \cdot \frac{300 \text{ К}}{290 \text{ К}} + \frac{2,5 \text{ моль} \cdot 8,31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \cdot 300 \text{ К}}{0,01 \text{ м}^3}$

$p_2 \approx 3,7 \cdot 10^5 \cdot 1,0345 + \frac{6232,5}{0,01} \approx 382765 + 623250 = 1006015 \text{ Па}$

Округляя результат до двух значащих цифр, получаем:

$p_2 \approx 1,0 \cdot 10^6 \text{ Па}$

Ответ: конечное давление газа в сосуде равно $1,0 \cdot 10^6 \text{ Па}$.