Номер 146, страница 30 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

146. В баллоне находился кислород, давление которого $p_1 = 385$ кПа, а температура $T_1 = 280$ К. Из баллона откачали $|\Delta m| = 321$ г кислорода и повысили температуру оставшегося газа до $T_2 = 309$ К. Определите первоначальную массу кислорода, если давление кислорода в баллоне уменьшилось до $p_2 = 320$ кПа.

Дано:

$p_1 = 385 \text{ кПа} = 385 \cdot 10^3 \text{ Па}$

$T_1 = 280 \text{ К}$

$\Delta m = 321 \text{ г} = 0,321 \text{ кг}$

$T_2 = 309 \text{ К}$

$p_2 = 320 \text{ кПа} = 320 \cdot 10^3 \text{ Па}$

Найти:

$m_1$ - ?

Решение:

Для решения задачи воспользуемся уравнением состояния идеального газа (уравнением Менделеева-Клапейрона) $pV = \frac{m}{M}RT$, где $p$ – давление, $V$ – объем, $m$ – масса газа, $M$ – молярная масса газа, $R$ – универсальная газовая постоянная, $T$ – абсолютная температура.

Запишем это уравнение для двух состояний кислорода в баллоне. Объем баллона $V$ является постоянной величиной.

Для начального состояния (до откачки части газа):

$p_1 V = \frac{m_1}{M} R T_1$ (1)

Для конечного состояния (после откачки и нагрева) масса газа стала $m_2 = m_1 - \Delta m$. Уравнение состояния примет вид:

$p_2 V = \frac{m_1 - \Delta m}{M} R T_2$ (2)

Чтобы исключить неизвестный объем $V$ и постоянные $M$ и $R$, разделим уравнение (1) на уравнение (2):

$\frac{p_1 V}{p_2 V} = \frac{\frac{m_1}{M} R T_1}{\frac{m_1 - \Delta m}{M} R T_2}$

После сокращения одинаковых величин получаем:

$\frac{p_1}{p_2} = \frac{m_1 T_1}{(m_1 - \Delta m) T_2}$

Выразим из этого соотношения искомую первоначальную массу $m_1$:

$p_1 (m_1 - \Delta m) T_2 = p_2 m_1 T_1$

$p_1 m_1 T_2 - p_1 \Delta m T_2 = p_2 m_1 T_1$

$p_1 m_1 T_2 - p_2 m_1 T_1 = p_1 \Delta m T_2$

$m_1(p_1 T_2 - p_2 T_1) = p_1 \Delta m T_2$

$m_1 = \frac{p_1 \Delta m T_2}{p_1 T_2 - p_2 T_1}$

Подставим числовые значения из условия задачи. Давление можно подставлять в килопаскалях, так как единицы измерения в числителе и знаменателе сократятся.

$m_1 = \frac{385 \cdot 0,321 \cdot 309}{385 \cdot 309 - 320 \cdot 280} = \frac{38187,765}{118965 - 89600} = \frac{38187,765}{29365} \approx 1,30047 \text{ кг}$

Округляя результат до трех значащих цифр, получаем:

$m_1 \approx 1,30 \text{ кг}$

Ответ: первоначальная масса кислорода составляла 1,30 кг.