Номер 151, страница 31 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

151. Определите минимальную массу гелия, требующегося для наполнения шара объемом $V$, чтобы шар смог поднять груз массой $m$ при нормальном атмосферном давлении $p_0$ воздуха и абсолютной температуре $T$. Масса оболочки шара равна $m_0$. Объемом груза и толщиной стенок шара пренебречь. Молярная масса воздуха $M$.

Дано:

$V$ – объем шара

$m$ – масса груза

$p_0$ – нормальное атмосферное давление воздуха

$T$ – абсолютная температура

$m_0$ – масса оболочки шара

$M$ – молярная масса воздуха

Найти:

$m_{He}$ – минимальная масса гелия

Решение:

Для того чтобы шар смог поднять груз, действующая на него выталкивающая сила (сила Архимеда) $F_A$ должна быть, по крайней мере, равна суммарной силе тяжести, действующей на шар с гелием, его оболочку и груз. Минимальная масса гелия соответствует условию равновесия сил, когда подъемная сила равна силе тяжести:

$F_A = F_{тяж}$

Выталкивающая сила равна весу вытесненного воздуха:

$F_A = \rho_{возд} g V$

где $\rho_{возд}$ – плотность воздуха, $g$ – ускорение свободного падения, $V$ – объем шара.

Суммарная сила тяжести равна весу гелия, оболочки и груза:

$F_{тяж} = (m_{He} + m_0 + m) g$

где $m_{He}$ – искомая масса гелия, $m_0$ – масса оболочки, $m$ – масса груза.

Приравнивая силы, получаем условие равновесия:

$\rho_{возд} g V = (m_{He} + m_0 + m) g$

Сократив обе части уравнения на $g$, выразим массу гелия:

$m_{He} = \rho_{возд} V - m_0 - m$

Плотность воздуха $\rho_{возд}$ можно найти из уравнения состояния идеального газа (уравнения Менделеева-Клапейрона) для воздуха:

$p_0 V_{возд} = \nu RT = \frac{m_{возд}}{M} RT$

где $R$ – универсальная газовая постоянная. Из этого уравнения выразим плотность воздуха:

$\rho_{возд} = \frac{m_{возд}}{V_{возд}} = \frac{p_0 M}{RT}$

Теперь подставим полученное выражение для плотности воздуха в формулу для массы гелия:

$m_{He} = \frac{p_0 M V}{RT} - m_0 - m$

Это и есть минимальная масса гелия, при которой шар сможет поднять заданный груз.

Ответ: Минимальная масса гелия определяется формулой $m_{He} = \frac{p_0 M V}{RT} - m_0 - m$.