Номер 137, страница 29 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

137. В баллоне находился идеальный газ массой $m_1 = 500$ г при температуре $t_1 = 47^\circ\text{C}$. После того как в баллон добавили еще такого же газа и увеличили абсолютную температуру газа в баллоне до $T_2 = 400$ К, давление газа в баллоне повысилось на $\alpha = 50$ %. Определите массу газа, добавленного в баллон.

Дано:

$m_1 = 500 \text{ г} = 0.5 \text{ кг}$

$t_1 = 47 \text{ °C}$

$T_2 = 400 \text{ К}$

$\alpha = 50 \% = 0.5$

Абсолютная температура в начальном состоянии:

$T_1 = t_1 + 273 = 47 + 273 = 320 \text{ К}$

Найти:

$\Delta m$

Решение:

Состояние идеального газа описывается уравнением Менделеева-Клапейрона:

$pV = \frac{m}{M}RT$

где $p$ — давление, $V$ — объем, $m$ — масса газа, $M$ — молярная масса газа, $R$ — универсальная газовая постоянная, $T$ — абсолютная температура.

Запишем это уравнение для начального (1) и конечного (2) состояний газа в баллоне. Объем баллона $V$ и молярная масса газа $M$ остаются постоянными.

Для начального состояния:

$p_1V = \frac{m_1}{M}RT_1$

Для конечного состояния:

$p_2V = \frac{m_2}{M}RT_2$

По условию задачи, давление повысилось на $\alpha = 50\%$. Следовательно, конечное давление $p_2$ связано с начальным $p_1$ соотношением:

$p_2 = p_1 + \alpha \cdot p_1 = p_1(1 + \alpha) = p_1(1 + 0.5) = 1.5 p_1$

Конечная масса газа $m_2$ равна сумме начальной массы $m_1$ и массы добавленного газа $\Delta m$:

$m_2 = m_1 + \Delta m$

Чтобы исключить неизвестные величины $V$, $M$ и $R$, разделим уравнение для конечного состояния на уравнение для начального состояния:

$\frac{p_2V}{p_1V} = \frac{\frac{m_2}{M}RT_2}{\frac{m_1}{M}RT_1}$

После сокращения одинаковых величин получаем:

$\frac{p_2}{p_1} = \frac{m_2T_2}{m_1T_1}$

Подставим в это соотношение известные нам выражения для $p_2$ и $m_2$:

$\frac{1.5 p_1}{p_1} = \frac{(m_1 + \Delta m)T_2}{m_1T_1}$

$1.5 = \frac{(m_1 + \Delta m)T_2}{m_1T_1}$

Теперь выразим из этого уравнения искомую массу $\Delta m$:

$1.5 \cdot m_1 T_1 = (m_1 + \Delta m) T_2$

$1.5 \frac{m_1 T_1}{T_2} = m_1 + \Delta m$

$\Delta m = 1.5 \frac{m_1 T_1}{T_2} - m_1$

Вынесем $m_1$ за скобки для удобства вычислений:

$\Delta m = m_1 \left( 1.5 \frac{T_1}{T_2} - 1 \right)$

Подставим числовые значения:

$\Delta m = 0.5 \text{ кг} \cdot \left( 1.5 \cdot \frac{320 \text{ К}}{400 \text{ К}} - 1 \right)$

$\Delta m = 0.5 \text{ кг} \cdot \left( 1.5 \cdot 0.8 - 1 \right)$

$\Delta m = 0.5 \text{ кг} \cdot (1.2 - 1)$

$\Delta m = 0.5 \text{ кг} \cdot 0.2 = 0.1 \text{ кг}$

Переведем массу в граммы, так как исходные данные были в граммах:

$\Delta m = 0.1 \text{ кг} = 100 \text{ г}$

Ответ: 100 г.