Номер 124, страница 26 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

124. Компрессор захватывает при каждом качании воздух объемом $V_0 = 2,8 \text{ дм}^3$ при нормальном атмосферном давлении $p_0 = 1 \cdot 10^5 \text{ Па}$ и температуре $T_0 = 280 \text{ К}$ и нагнетает его в резервуар объемом $V = 1 \text{ м}^3$. Температура воздуха в резервуаре поддерживается постоянно $T = 300 \text{ К}$. Сколько качаний должен сделать компрессор, чтобы давление в резервуаре стало $p_2 = 0,3 \text{ МПа}$, если вначале резервуар был пуст?

Дано:

Объем захватываемого воздуха, $V_0 = 2,8 \text{ дм}^3$
Начальное давление, $p_0 = 1 \cdot 10^5 \text{ Па}$
Начальная температура, $T_0 = 280 \text{ К}$
Объем резервуара, $V = 1 \text{ м}^3$
Температура в резервуаре, $T = 300 \text{ К}$
Конечное давление в резервуаре, $p_2 = 0,3 \text{ МПа}$

Перевод в систему СИ:
$V_0 = 2,8 \text{ дм}^3 = 2,8 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$
$p_2 = 0,3 \text{ МПа} = 0,3 \cdot 10^6 \text{ Па} = 3 \cdot 10^5 \text{ Па}$

Найти:

Число качаний компрессора, $N$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся уравнением состояния идеального газа (уравнением Менделеева-Клапейрона): $pV = \nu RT$, где $p$ – давление, $V$ – объем, $\nu$ – количество вещества, $R$ – универсальная газовая постоянная, $T$ – абсолютная температура.

1. Определим количество вещества (число молей) воздуха $\Delta\nu$, которое компрессор захватывает за одно качание. Для этого применим уравнение состояния к порции воздуха с параметрами $p_0, V_0, T_0$:

$p_0 V_0 = \Delta\nu R T_0$

Отсюда количество вещества за одно качание:

$\Delta\nu = \frac{p_0 V_0}{R T_0}$

2. После $N$ качаний компрессора общее количество вещества воздуха, нагнетенного в резервуар, будет равно $\nu_2$. Поскольку резервуар был изначально пуст, это количество равно:

$\nu_2 = N \cdot \Delta\nu = N \frac{p_0 V_0}{R T_0}$

3. Теперь запишем уравнение состояния для воздуха в резервуаре в конечном состоянии, когда давление стало $p_2$, объем $V$, а температура $T$:

$p_2 V = \nu_2 R T$

Отсюда конечное количество вещества в резервуаре:

$\nu_2 = \frac{p_2 V}{R T}$

4. Приравняем два выражения для $\nu_2$:

$N \frac{p_0 V_0}{R T_0} = \frac{p_2 V}{R T}$

Сократим универсальную газовую постоянную $R$:

$N \frac{p_0 V_0}{T_0} = \frac{p_2 V}{T}$

Выразим из этого уравнения искомое число качаний $N$:

$N = \frac{p_2 V T_0}{p_0 V_0 T}$

5. Подставим числовые значения в полученную формулу:

$N = \frac{3 \cdot 10^5 \text{ Па} \cdot 1 \text{ м}^3 \cdot 280 \text{ К}}{1 \cdot 10^5 \text{ Па} \cdot 2,8 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 \cdot 300 \text{ К}} = \frac{3 \cdot 280}{2,8 \cdot 300 \cdot 10^{-3}} = \frac{840}{840 \cdot 10^{-3}} = \frac{1}{10^{-3}} = 1000$

Таким образом, компрессор должен сделать 1000 качаний.

Ответ: $1000$ качаний.