Номер 122, страница 25 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

122. Абсолютная температура воздуха в мяче, лежащем на солнечном свету, возросла на $\alpha = 47,6$ %, а его объем увеличился на $\beta = 2,5$ %. На сколько процентов при этом повысилось давление воздуха в мяче?

Дано:

Относительное увеличение абсолютной температуры $ \alpha = 47,6 \ \% $

Относительное увеличение объема $ \beta = 2,5 \ \% $

Найти:

Относительное увеличение давления $ \gamma $

Решение:

Состояние воздуха в мяче можно описать с помощью объединенного газового закона, так как масса воздуха в мяче остается постоянной. Закон связывает давление $P$, объем $V$ и абсолютную температуру $T$ газа в начальном (1) и конечном (2) состояниях:

$ \frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2} $

Выразим параметры конечного состояния ($P_2, V_2, T_2$) через параметры начального состояния ($P_1, V_1, T_1$) и заданные процентные изменения.

Абсолютная температура возросла на $ \alpha = 47,6 \ \% $, значит, конечная температура $T_2$ равна:

$ T_2 = T_1 + \frac{\alpha}{100} T_1 = T_1 (1 + \frac{47,6}{100}) = 1,476 T_1 $

Объем увеличился на $ \beta = 2,5 \ \% $, значит, конечный объем $V_2$ равен:

$ V_2 = V_1 + \frac{\beta}{100} V_1 = V_1 (1 + \frac{2,5}{100}) = 1,025 V_1 $

Теперь выразим конечное давление $P_2$ из объединенного газового закона:

$ P_2 = P_1 \frac{V_1 T_2}{V_2 T_1} $

Подставим выражения для $V_2$ и $T_2$:

$ P_2 = P_1 \frac{V_1 \cdot (1,476 T_1)}{(1,025 V_1) \cdot T_1} $

Сократим $V_1$ и $T_1$:

$ P_2 = P_1 \frac{1,476}{1,025} \approx 1,44 P_1 $

Чтобы найти, на сколько процентов повысилось давление, используем формулу для процентного изменения:

$ \gamma = \frac{P_2 - P_1}{P_1} \cdot 100 \ \% $

Подставим соотношение между $P_2$ и $P_1$:

$ \gamma = \frac{1,44 P_1 - P_1}{P_1} \cdot 100 \ \% = \frac{0,44 P_1}{P_1} \cdot 100 \ \% = 0,44 \cdot 100 \ \% = 44 \ \% $

Ответ: давление воздуха в мяче повысилось на 44 %.