Номер 110, страница 23 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

110. Для приготовления газовой смеси гелия и аргона, применяемой для сварки алюминия, соединили два сосуда короткой трубкой с краном. При закрытом кране в первом сосуде находился гелий, количество вещества которого $v_1 = 0,050$ моль, под давлением $p_1 = 2,0 \cdot 10^5$ Па, во втором сосуде находился аргон, количество вещества которого $v_2 = 0,15$ моль, под давлением $p_2 = 4,0 \cdot 10^5$ Па. Температура газов одинаковая. Определите, какое давление установится в сосудах, если откроют кран. Температура газов останется прежней.

Дано:

Количество вещества гелия, $\nu_1 = 0,050$ моль

Давление гелия, $p_1 = 2,0 \cdot 10^5$ Па

Количество вещества аргона, $\nu_2 = 0,15$ моль

Давление аргона, $p_2 = 4,0 \cdot 10^5$ Па

Температура газов одинакова и не меняется, $T = \text{const}$

Найти:

Давление смеси газов, $p$

Решение:

Так как газы можно считать идеальными, запишем уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона) для каждого газа до их смешивания. Температура $T$ и универсальная газовая постоянная $R$ одинаковы в обоих случаях.

Для гелия в первом сосуде объемом $V_1$:

$p_1 V_1 = \nu_1 R T$

Отсюда выразим объем первого сосуда:

$V_1 = \frac{\nu_1 R T}{p_1}$

Для аргона во втором сосуде объемом $V_2$:

$p_2 V_2 = \nu_2 R T$

Отсюда выразим объем второго сосуда:

$V_2 = \frac{\nu_2 R T}{p_2}$

После открытия крана газы смешиваются и занимают общий объем, равный сумме объемов двух сосудов:

$V = V_1 + V_2$

Общее количество вещества в смеси газов равно сумме количеств вещества каждого газа:

$\nu = \nu_1 + \nu_2$

Температура смеси остается прежней, $T$. Запишем уравнение состояния для газовой смеси при конечном давлении $p$:

$p V = \nu R T$

Подставим в это уравнение выражения для общего объема $V$ и общего количества вещества $\nu$:

$p (V_1 + V_2) = (\nu_1 + \nu_2) R T$

Теперь подставим выражения для объемов $V_1$ и $V_2$:

$p \left( \frac{\nu_1 R T}{p_1} + \frac{\nu_2 R T}{p_2} \right) = (\nu_1 + \nu_2) R T$

Вынесем $R T$ за скобки в левой части уравнения:

$p \cdot R T \left( \frac{\nu_1}{p_1} + \frac{\nu_2}{p_2} \right) = (\nu_1 + \nu_2) R T$

Сократим $R T$ в обеих частях уравнения:

$p \left( \frac{\nu_1}{p_1} + \frac{\nu_2}{p_2} \right) = \nu_1 + \nu_2$

Из этого уравнения выразим конечное давление $p$:

$p = \frac{\nu_1 + \nu_2}{\frac{\nu_1}{p_1} + \frac{\nu_2}{p_2}}$

Подставим числовые значения:

$\nu_1 + \nu_2 = 0,050 \text{ моль} + 0,15 \text{ моль} = 0,20 \text{ моль}$

$\frac{\nu_1}{p_1} = \frac{0,050 \text{ моль}}{2,0 \cdot 10^5 \text{ Па}} = 0,025 \cdot 10^{-5} \frac{\text{моль}}{\text{Па}}$

$\frac{\nu_2}{p_2} = \frac{0,15 \text{ моль}}{4,0 \cdot 10^5 \text{ Па}} = 0,0375 \cdot 10^{-5} \frac{\text{моль}}{\text{Па}}$

$\frac{\nu_1}{p_1} + \frac{\nu_2}{p_2} = (0,025 + 0,0375) \cdot 10^{-5} \frac{\text{моль}}{\text{Па}} = 0,0625 \cdot 10^{-5} \frac{\text{моль}}{\text{Па}}$

$p = \frac{0,20}{0,0625 \cdot 10^{-5}} \text{ Па} = \frac{0,20}{0,0625} \cdot 10^5 \text{ Па} = 3,2 \cdot 10^5 \text{ Па}$

Ответ: установившееся давление в сосудах равно $3,2 \cdot 10^5$ Па.