Номер 106, страница 22 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

106. По газопроводу течет пропан $C_3H_8$ при давлении $p = 2 \text{ МПа}$ и температуре $t = 17 \text{ °С}$. За время $\tau = 1 \text{ ч}$ транспортируется $m = 32 \text{ кг}$ газа. Площадь поперечного сечения трубы газопровода $S = 6 \text{ см}^2$. Определите модуль средней скорости движения газа в трубе.

Дано:

Газ - пропан ($C_3H_8$)

Давление, $p = 2 \text{ МПа} = 2 \cdot 10^6 \text{ Па}$

Температура, $t = 17 \text{ °C}$

$T = 17 + 273 = 290 \text{ К}$

Время, $\tau = 1 \text{ ч} = 3600 \text{ с}$

Масса газа, $m = 32 \text{ кг}$

Площадь поперечного сечения, $S = 6 \text{ см}^2 = 6 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$

Универсальная газовая постоянная, $R \approx 8,31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}}$

Найти:

Модуль средней скорости движения газа, $v$ - ?

Решение:

Масса газа $m$, протекающего через поперечное сечение трубы $S$ за время $\tau$ со средней скоростью $v$, может быть выражена через плотность газа $\rho$ и объем $V$:

$m = \rho \cdot V$

Объем газа, прошедшего через сечение, равен $V = S \cdot v \cdot \tau$. Тогда масса равна:

$m = \rho \cdot S \cdot v \cdot \tau$

Из этого соотношения выразим искомую среднюю скорость движения газа:

$v = \frac{m}{\rho \cdot S \cdot \tau}$

Для определения плотности пропана $\rho$ при заданных условиях воспользуемся уравнением состояния идеального газа (уравнением Менделеева-Клапейрона):

$p \cdot V = \frac{m}{M} \cdot R \cdot T$

где $M$ - молярная масса пропана $C_3H_8$, $R$ - универсальная газовая постоянная, $T$ - абсолютная температура газа в Кельвинах.

Плотность газа по определению равна $\rho = \frac{m}{V}$. Выразим плотность из уравнения состояния:

$\rho = \frac{p \cdot M}{R \cdot T}$

Вычислим молярную массу пропана $C_3H_8$. Используя относительные атомные массы углерода $A_r(C) \approx 12$ и водорода $A_r(H) \approx 1$, получаем:

$M(C_3H_8) = 3 \cdot 12 \frac{\text{г}}{\text{моль}} + 8 \cdot 1 \frac{\text{г}}{\text{моль}} = 44 \frac{\text{г}}{\text{моль}} = 0,044 \frac{\text{кг}}{\text{моль}}$

Теперь подставим выражение для плотности в формулу для скорости:

$v = \frac{m}{\frac{p \cdot M}{R \cdot T} \cdot S \cdot \tau} = \frac{m \cdot R \cdot T}{p \cdot M \cdot S \cdot \tau}$

Подставим числовые значения и произведем расчеты:

$v = \frac{32 \text{ кг} \cdot 8,31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \cdot 290 \text{ К}}{2 \cdot 10^6 \text{ Па} \cdot 0,044 \frac{\text{кг}}{\text{моль}} \cdot 6 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 \cdot 3600 \text{ с}} = \frac{77143,2}{190080} \approx 0,406 \text{ м/с}$

Ответ: $v \approx 0,406 \text{ м/с}$.