Номер 103, страница 22 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

103. В сосуде объемом $V = 69 \text{ см}^3$ содержится идеальный газ при температуре $t = 27 \text{ }^{\circ}\mathrm{C}$. Определите, на сколько понизится давление газа в сосуде, если вследствие утечки из сосуда выйдет $N = 5,0 \cdot 10^{20}$ молекул. Температура газа не изменяется.

Дано:

$V = 69 \text{ см}^3$

$t = 27 \text{ °C}$

$N = 5,0 \cdot 10^{20}$

$T = \text{const}$

Перевод в систему СИ:

$V = 69 \text{ см}^3 = 69 \cdot (10^{-2} \text{ м})^3 = 69 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3$

$T = t + 273 = 27 + 273 = 300 \text{ К}$

Найти:

$\Delta p$

Решение:

Давление идеального газа описывается уравнением состояния идеального газа. Воспользуемся формой уравнения, связывающей давление с концентрацией молекул:

$p = n k T$

где $n$ — концентрация молекул ($n = N_{общ} / V$), $k$ — постоянная Больцмана ($k \approx 1,38 \cdot 10^{-23} \text{ Дж/К}$), $T$ — абсолютная температура.

Подставив выражение для концентрации, получим: $p V = N_{общ} k T$, где $N_{общ}$ — общее число молекул в сосуде.

Поскольку объем сосуда $V$ и температура газа $T$ не изменяются, изменение давления $\Delta p$ обусловлено только изменением числа молекул $\Delta N_{общ}$.

Начальное давление в сосуде:

$p_1 = \frac{N_1 k T}{V}$

Конечное давление после утечки:

$p_2 = \frac{N_2 k T}{V}$

Понижение давления $\Delta p$ равно разности начального и конечного давлений:

$\Delta p = p_1 - p_2 = \frac{N_1 k T}{V} - \frac{N_2 k T}{V} = \frac{(N_1 - N_2) k T}{V}$

Величина $N_1 - N_2$ — это количество молекул, которые вышли из сосуда, то есть $N = 5,0 \cdot 10^{20}$. Обозначим это количество как $\Delta N$. Тогда формула для понижения давления примет вид:

$\Delta p = \frac{\Delta N k T}{V}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$\Delta p = \frac{5,0 \cdot 10^{20} \cdot 1,38 \cdot 10^{-23} \text{ Дж/К} \cdot 300 \text{ К}}{69 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3}$

Выполним вычисления:

$\Delta p = \frac{5,0 \cdot 1,38 \cdot 300}{69} \cdot \frac{10^{20} \cdot 10^{-23}}{10^{-6}} \text{ Па} = \frac{2070}{69} \cdot 10^{-3} \cdot 10^{6} \text{ Па}$

$\Delta p = 30 \cdot 10^3 \text{ Па} = 3 \cdot 10^4 \text{ Па}$

Это значение можно также выразить в килопаскалях:

$3 \cdot 10^4 \text{ Па} = 30 \text{ кПа}$

Ответ: давление газа в сосуде понизится на $3 \cdot 10^4 \text{ Па}$ (или 30 кПа).